Cho hàm số fx=2020x-2020-x. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình flog2x-m+flog23x=0 có nghiệm x∈1;16

Chọn C.

Xét hàm số fx=2020x-2020-x.

Tập xác định: D=R

Ta có:

∀x∈D⇒-x∈D;f-x=2020-x-2020x=-2020x-2020-x=-fx

Vậy hàm số fx=2020x-2020-x là hàm số lẻ.

Lại có:

f'x=2020x.ln2020-2020-x.ln2020.-x'=2020x.ln2020+2020-x.ln2020>0∀x∈D

Do đó hàm số fx=2020x-2020-x luôn đồng biến trên R

Theo đề bài ta có:

flog2x-m+flog23x=0⇔flog2x-m=-flog23x⇔flog2x-m=f-log23x

(Do f(x) là hàm số lẻ)

Mặt khác hàm số f(x) luôn đồng biến trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất:

log2x-m=-log23x⇔m=log23x+log2x

Đặt log2x=1. Với x∈1;16⇒t∈0;4.

Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình:

m=t3+t có nghiệm t∈0;4.

Xét hàm số ft=t3+t trên khoảng (0;4)

Ta có: f't=3t2+t>0∀t nên hàm số f(t) đồng biến trên (0;4)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng (0;4) thì: 0

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình flog2x-m+flog23x=0 có nghiệm x∈1;16 lầ m=67