Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau z−1=34,  z+1+mi=z+m+2i (trong đó m là tham số thực) và sao cho z1−z2 là lớn nhất. Khi đó giá trị z1+z2 bằng

Đáp án đúng là: D

Đặt z=x+yi   (x, y∈ℝ). Khi đó z−1=34⇔x−12+y2=34 (C).

Suy ra điểm biểu diễn của số phức z1, z2 nằm trên đường tròn (C) tâm I(1;0) bán kính R=34.

Lại có, z+1+mi=z+m+2i⇔x+12+y+m2=x+m2+y+22

⇔2−2mx+2m−4y−3=0 (d).

Suy ra điểm biểu diễn số phức z1, z2 nằm trên đường thẳng (d).

Gọi Ax0; y0 là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó,  2−2mx0+2m−4y0−3=0,  ∀m

⇔ 2m(y0−x0)+2x0−4y0−3=0,   ∀m

⇔ y0−x0=02x0−4y0−3=0⇔x0=y0=−32⇒A−32; −32.

Ta có, IA=342

Do đó đường thẳng (d) luôn cắt đường tròn (C) tại 2 điểm M, N và điểm M, N chính là điểm biểu diễn của số phức z1, z2.

Theo giả thiết thì z1−z2=MN lớn nhất ⇔ d≡ IA .

Do đó z1+z2=OM→+ON→=2.OI→=2.OI=2.