Cho ba toa tàu đánh số từ 1 đến 3 và 12 hành khách. Mỗi toa đều chứa được tối đa 12 hành khách. Gọi n là số cách xếp các hành khách vào các toa taud thỏa mãn điều kiện “mỗi toa đều có khách”. Tìm số các chữ số n.

Đáp án B

*Xếp 12 khách vào 3 toa tàu (có thể có toa không có khách): Có 312cách.

* Trừ đi các trường hợp có KHÔNG QUÁ 2 toa có khách: −C32.212

(Chọn ra hai toa có C32 cách. Sau đó xếp tùy ý 12 khách vào 2 toa đã chọn ra này, tức là có thể có một trong hai toa không có khách).

Nhưng như vậy ta đã trừ đi các trường hợp chỉ có 1 toa có khách đến 2 lần nên phải cộng lại số này: +C31.112

* Vậy cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là 312−C32.212+C31.112=519156 cách.

Do đó chọn đáp án B.

Bài toán tổng quát: Có bao nhiêu cahcs xếp q hành khách vào n toa tàu khác nhau sao cho toa tàu nào cũng có khách? (hay chính là bài toán chia quà: Có bao nhiêu cách chia q món quà khác nhau cho n bạn sao cho bạn nào cũng có quà?)

Ở bài toán trên, ta có:

312−C32.212+C31.112=C303−012−C313−112+C323−212−C333−312

Lập luận tương tự như bài toán trên ta có số cách xếp (cách chia) là:

Cn0n−0q−Cn1n−1q+Cn2n−2q−Cn3n−3q+...=∑k=0n−1kCnkn−kq 

Bài toán này khác với bài toán chia kẹo Euler: Có bao nhiêu cách chia q chiếc kẹo giống nhau cho n em bé sao cho em nào cũng có kẹo?