Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn \({\log _2}\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a - 4} \right) + b\left( {b - 4} \right) + c\left( {c - 4} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac\).

Đáp án D

Biến đổi giả thiết ta có: \({\log _2}\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a - 4} \right) + b\left( {b - 4} \right) + c\left( {c - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b + c} \right) + 2 + 4\left( {a + b + c} \right) = {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}4\left( {a + b + c} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) = {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó \(f\left[ {4\left( {a + b + c} \right)} \right] = f\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) \Leftrightarrow 4\left( {a + b + c} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 10\)    \(\left( S \right)\)

Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\)thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 10\)

Mặt khác \(P = \frac \Leftrightarrow a\left( {P - 1} \right) + b\left( {P - 2} \right) + c\left( {P - 3} \right) = 0\)  \(\left( P \right)\)

Điều kiện để \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có giao điểm là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) \le R\left( {I\left( {2;2;2} \right);R = \sqrt {10} } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {6P - 12} \right|}}{{\sqrt {3{P^2} - 12P + 14} }} \le \sqrt {10} \)

\( \Leftrightarrow P \le \frac{3}\).