Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo a khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAC).

Phương pháp:

- Đổi dM;SAC sang dH;SAC

- Trong (ABCD) kẻ HE⊥ACE∈AC, trong (SHE) kẻ HN⊥SEN∈SE, chứng minh HN⊥SAC

- Xác định góc giữa SC và (ABCD), từ đó tính SH.

- Sử dụng SHAC=12HE.AC=12SABC, từ đó tính HE.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính HN.

Cách giải:

Gọi H là trung điểm AB. Vì ΔSAB cân tại S nên SH⊥AB

Ta có: SAB∩ABCD=ABSH⊂ABCD,SH⊥AB⇒SH⊥ABCD.

Gọi K=HD∩AC. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: DKHK=DCAH=2⇒DK=2HK.

Ta có MD∩SAC=S⇒dM;SACdD;SAC=SMSD=12

⇒dM;SAC=12dD;SAC.

Lại có DH∩SAC=K nên dD;SACdH;SAC=DKHK=2⇒dD;SAC=2dH;SAC.

Do đó dM;SAC=dH;SAC.

Trong (ABCD) kẻ HE⊥ACE∈AC, trong (SHE) kẻ HN⊥SEN∈SE ta có:

AC⊥HEAC⊥SH⇒AC⊥SHE⇒AC⊥HN

HN⊥SEHN⊥AC⇒HN⊥SAC⇒dH;SAC=HN

Vì SH⊥ABCD nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).

⇒∠SC;ABCD=∠SC;HC=∠SCH=450.

⇒ΔSHC vuông tại H⇒SH=HC=BC2+BH2=2a2+a22=a172

Ta có: SHAC=12HE.AC=12SABC

⇒HE.AC=12.AB.BC

⇒HE=12.AB.BCAC=12.a.2aa2+2a2=a5

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có:

Nên HN=SH.HESH2+HE2=a172.a517a24+a25=a151389.

Vậy dM;SAC=a151389.

Chọn A.