Hình bên mô tả một chiếc thang đứng hình chữ A là tam giác ABC. Do chiếc thang hơi ngắn nên một người thợ đã nối thêm 2 thanh gỗ bằng nhau BM và CN lần lượt vào hai cạnh AB, AC. Để giữ thăng bằng và cố định chiếc thang nên người thợ này muốn đóng thêm 2 thanh gỗ bằng nhau là BN và CM. Biết BC = 0,6 m, MN = 0,9 m. Em hãy cho biết độ dài thanh gỗ BN cần dài ít nhất bao nhiêu là hợp lí?

Đáp án đúng là: D

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và BM = CN (giả thiết).

Suy ra AB + BM = AC + CN.

Do đó AM = AN.

Suy ra ∆AMN cân tại A.

Vì vậyAMN^=ANM^.

Ta có MAN^+AMN^+ANM^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra 2AMN^=180°−MAN^.

Do đó AMN^=180°−MAN^2  (1).

Ta có ∆ABC cân tại A.

Suy ra ABC^=ACB^.

Ta có BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra 2ABC^=180°−BAC^

Do đó ABC^=180°−MAN^2   (2).

Từ (1), (2), ta suy ra AMN^=ABC^.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Khi đó ta có BC // MN.

Kẻ AH ⊥ BC tại H. Suy ra AH ⊥ MN

Giả sử AH ⊥ MN tại K.

Xét ∆ABH và ∆ACH, có:

AHB^=AHC^=90°.

ABC^=ACB^ (do ∆ABC cân tại A).

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HB = HC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó H là trung điểm BC.

Khi đó ta có BH=12BC.

Tương tự ta có KN=12MN.

Gọi O là giao điểm của BN và AK.

Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, ta có:

BO > BH=12BC và ON > KN=12MN.

Suy ra BN = BO + ON > 12BC+12MN

Mà 12BC+12MN=0,62+0,92=0,75.

Do đó BN > 0,75 (m).

Vì 0,8 (m) > 0,75 (m).

Nên ta chọn đáp án D.