Cho hàm số y=x4−3x2+m có đồ thị là Cm với m là số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi S1,S2,S3 lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị m=ab với a, b là các số nguyên dương và ab tối giản sao cho S1+S3=S2. Đặt T = a + b. Mệnh đề nào đúng?

Xét phương trình hoành độ giao điểm x4−3x2+m=0 1.

Đặt t=x2 ta có t2−3t+m=0 2.

Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

⇒Δ=9−4m>0S=3>0P=m>0⇔0

Giả sử t1

Do tính đối xứng nên ta dễ có

S1=S3=∫t1t2−x4+3x2−mdx

=−x55+x3−mxt2t1

     =−15t22t2−t12t1+t2t2−t1t1−mt2−t1

S2=∫−t1t1x4−3x2+mdx=x55−x3+mxt1−t1

=2t12t15−t1t1+mt1

Theo bài ra ta có: S1+S3=2S2

⇔−15t22t2−t12t1+t2t2−t1t1−mt2−t1=t12t15−t1t1+mt1

⇔−15t22t2+t2t2−mt2=0

⇔t2−15t22+t2−m=0

⇔−15t22+t2−m=0 3 (do t2>0)

Vì t2 là nghiệm của phương trình (2) nên t22−3t2+m=0⇔m=−t22+3t2.

Thay vào (3) ta có:

−15t22+t2+t22−3t2=0

⇔45t22−2t2=0

⇔t2=0ktmt2=52tm

Khi đó m=−t22+3t2=−522+3.52=54tm⇒a=5,b=4.

Vậy T=a+b=5+4=9∈8;10.

Chọn A.