Cho hàm số f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,(a≠0) có đồ thị của đạo hàm f'(x) như hình vẽ. Biết rằng e>n. Số điểm cực trị của hàm số y=f'(f(x)−2x) bằng

Ta có: y'=(f'(x)−2)f''[f(x)−2x].

y'=0⇔(f'(x)−2)f''[f(x)−2x]=0⇔[f'(x)−2=0             (1)f''[f(x)−2x]=0   (2)

Xét phương trình (1)⇔f'(x)=2.

Từ đồ thị ta có phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x1,x2,x3(x1

Xét phương trình (2).

Trước hết ta có: f'(x)=4ax3+2bx2+2cx+d.

                          f'(0)=2⇔d=2.

Suy ra: f(x)=ax4+bx3+cx2+2x+e.

(2)⇔f"[f(x)−2x]=0⇔[f(x)−2x=mf(x)−2x=n⇔[ax4+bx3+cx2+e=max4+bx3+cx2+e=n

⇔[ax4+bx3+cx2=m−e (2a)ax4+bx3+cx2=n−e (2b).

Số nghiệm của hai phương trình (2a) và (2b) lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng y=m−e và y=n−e (trong đó m−e

      g'(x)=4ax3+3bx2+2cx

      g'(x)=0⇔4ax3+3bx2+2cx=0⇔4ax3+3bx2+2cx+2=2

                      ⇔f'(x)=2⇔[x=x1<0x=x2=0x=x3>0

Từ đồ thị hàm số y=f'(x) suy ra:

+) limx→−∞f'(x)=+∞ nên a<0 nên limx→−∞g(x)=−∞,limx→+∞g(x)=−∞.

Bảng biến thiên của hàm số y=g(x):

Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình (2a),(2b) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt (hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác x1,x2,x3.