Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1≤m+1 đúng với mọi x∈ℝ

Đáp án D

Ta có :

y=3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1=3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3

Vàsin2x+2cos2x+3>0; ∀x∈ℝ  .

xét phương trình y=3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3

⇔sin2x+2cos2x+3y=3sin2x+cos2x⇔y−3sin2x+2y−1cos2x=−3y   

Phương trình trên có nghiệm nên

y−32+2y−12≥−3y2⇔5y2−10y+10≥9y2

⇔−4y2−10y+10≥0⇔−5−654≤y≤−5+654

Suy ra giá trị lớn nhất của y là −5+654

Phương trình 3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3≤m+1  nghiệm đúngg với mọi số thực x khi −5+654≤m+1⇔m≥−9+654