Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1], có đạo hàm dương và liên tục trên [0;1], thỏa mãn ∫01f3x+4f'x3dx≤3∫01f'x.f2xdx. và f0=1 Tính I=∫01fxdx.

Đáp án A

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có

f3x=4+f3x2+f3x2≥34[f'x]3.f3x2.f3x23=3f'x.f2x

Suy ra ∫01f3x+4[f'x]3dx≥3∫01f'x.f2xdx .

Mà ∫01f3x+4[f'x]3dx≤3∫01f'x.f2xdx  nên dấu “=” xảy ra, tức là

4=f3x2=f3x2⇔f'x=12fxf'xfx=12⇒∫f'xfxdx=12∫dx⇒lnfx=12x+C⇒fx=e12x+C

Theo giả thiết f0=1⇒C=0⇒fx=e12x⇒∫01fxdx=2e−1