Phương trình hàm - kỹ thuật giải và một số vấn đề liên quan

PH×ÌNG TRœNH H€M - Kß THUŠT GIƒI V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN Tr¦n Minh Hi·n - GV tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung, B¼nh Ph÷îc Ng y 15 th¡ng 6 n«m 2011 Möc löc Möc löc 1 1 Ph÷ìng ph¡p th¸ bi¸n 2 2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 12 3 Ph÷ìng ph¡p quy n¤p 19 4 Khai th¡c t½nh ch§t ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh, ch®n l´ cõa h m sè 24 5 Khai th¡c t½nh ìn i»u cõa h m sè 34 6 Khai th¡c t½nh ch§t iºm b§t ëng cõa h m sè 40 7 Ph÷ìng ph¡p ÷a v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n 44 8 Ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh li¶n töc cõa h m sè 46 9 Ùng döng ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n 53 10 B§t ¯ng thùc h m 60 11 H m tu¦n ho n 65 12 Mët sè chuy¶n · ph÷ìng tr¼nh h m 66 12.1 Ph÷ìng tr¼nh h m gi£i nhí t½nh gi¡ trà h m sè theo hai c¡ch kh¡c nhau . . . . . . . . . . 66 13 Gi£i ph÷ìng tr¼nh h m b¬ng c¡ch th¶m bi¸n 68 14 LUY›N TŠP PH×ÌNG TRœNH H€M 69 14.1 Ph÷ìng ph¡p th¸ bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 14.2 B§t ¯ng thùc h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1 www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N 1 Ph÷ìng ph¡p th¸ bi¸n Ph÷ìng ph¡p th¸ bi¸n câ l³ l  ph÷ìng ph¡p ÷ñc sû döng nhi·u nh§t khi gi£i ph÷ìng tr¼nh h m. Ta câ thº: Ho°c cho c¡c bi¸n x; y; : : :nhªn c¡c gi¡ trà b¬ng sè. Th÷íng c¡c gi¡ trà °c bi»t l  0;1; 2; : : : Ho°c th¸ c¡c bi¸n b¬ng c¡c biºu thùc º l m xu§t hi»n c¡c h¬ng sè ho°c c¡c biºu thùc c¦n thi¸t. Ch¯ng h¤n, n¸u trong ph÷ìng tr¼nh h m câ m°t f(x +y) m  muèn câ f(0) th¼ ta th¸ ybði x, muèn câ f(x) th¼ cho y= 0 , muèn câ f(nx) th¼ th¸ ybði (n1)x. V½ dö 1.1. (o 199?) T¼m t§t c£ c¡c h m sèf:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n x 2 f (x) + f(1 x) = 2 x x4 ; 8x 2R: Gi£i Thay xbði 1 xta ÷ñc (1x)2 f (1 x) + f(x) = 2(1 x) (1 x)4 ; 8x 2R: Nhu vªy ta câ h» 8 < :x 2 f (x) + f(1 x) = 2x x4 f (x) + (1 x)2 f (1 x) = 2(1 x) (1 x)4 : Ta câ D= ( x2 x 1) (x 2 x+ 1) v D x= (1 x2 ) ( x2 x 1) (x 2 x+ 1). Vªy D:f(x) = D x; 8 x 2 R. Tø â ta câ nghi»m cõa b i to¡n l  f(x) = 8 > > < > > :1 x2 :x 6= a; x 6=b; c 2 R :x = a; 2a a4 a2 c :x = b; (c l  h¬ng sè tòy þ); vîi a; b l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x2 x 1 = 0 . Nhªn x²t: B i to¡n tr¶n ÷ñc dòng mët l¦n núa trong ký thi VMO 2000, b£ng B. V½ dö 1.2. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n f (x +y) + f(x y) = 2 f(x) cos y;8x; y 2R Hint: 1. Th¸ y! 2 2. Th¸ y! y+ 2 ho°c th¸ x= 2 3. Th¸ x! 0 ¡p sè: f(x) = acos x+ bsin x(a; b 2R) V½ dö 1.3. f:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n f(xy +x+ y) = f(xy ) + f(x) + f(y ); x; y 2R. Chùng minh r¬ng: f(x +y) = f(x) + f(y );8x; y 2R: GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N Hint: 1. T½nh f(0) 2. Th¸ y= 1, chùng minh fl  h m l´ 3. Th¸ y= 1 )f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 4. T½nh f(2(u +v+ uv ) + 1) theo (3) v  theo gi£ thi¸t º suy ra f(2uv +u) = 2 f(uv ) + f(u) 5. Cho v= 1 2 ; u 2 ! xv  u! y;2uv !xº suy ra i·u ph£i chùng minh V½ dö 1.4. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rçng thíi thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: f (x) = xf 1 x ;8x 6= 0 f (x) + f(y ) = 1 + f(x +y); 8x; y 2R; (x; y )6= (0; 0);x+ y6= 0 Hint: 1. T½nh f(0); f (1) 2. T½nh a+ 1 vîia= f(1) = f€ x+1 x+1 Š = f€ x + 1 1 x+1 Š theo c£ hai i·u ki»n. ¡p sè: f(x) = x+ 1 Nhªn x²t: Thõ thuªt n y ¡p döng cho mët lîp c¡c b i to¡n g¦n tuy¸n t½nh V½ dö 1.5. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R + ! Rthäa f(1) = 1 2 v  f (xy ) = f(x)f ‚ 3 y Œ + f(y )f 3 x ;8 x; y 2R+ Hint: 1. T½nh f(3) 2. Th¸ y! 3 x ¡p sè: f(x) = 1 2 V½ dö 1.6. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n: f (x) + 2 f 1 x = 3 x;8x 2R Hint: Th¸ x! 1 x ¡p sè: f(x) = 2 x x V½ dö 1.7. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:Rnf0; 1g !Rthäa m¢n i·u ki»n: f (x) + f x 1 x = 2 x;8x; 2Rnf0; 1g Hint: Th¸ x! x1 x ; x ! 1 x1 ¡p sè: f(x) = x+ 1 1x x1 x Luy»n tªp: 2. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:Q + ! Q+ thäa m¢n i·u ki»n: f (x + 1) = f(x) + 1 ;8x 2Q+ v  f(x 3 ) = f3 (x); 8x2Q+ GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N Hint: 1. Quy n¤p f(x +n) = f(x) + n;8x 2 Q+ ;8 n 2 N 2. Vîi p q 2 Q+ , t½nh f p q + q2 3‹ theo hai c¡ch. ¡p sè: f(x) = x;8x 2 Q+ V½ dö 1.8. (VMO 2002 ). H¢y t¼m t§t c£ c¡c h m sè f(x) x¡c ành tr¶n tªp sè thüc Rv  thäa m¢n h» thùc f(y f(x)) = f€ x 2002 yŠ 2001:y:f (x);8x; y 2R: (1) Gi£i a) Th¸ y= f(x) v o (1) ta ÷ñc f(0) = f€ x 2002 f(x) Š 2002: (f(x)) 2 ;8x 2R: (2) b) L¤i thay y= x2002 v o (1) th¼ f€ x 2002 f(x) Š = f(0) 2001:x 2002 :f(x); 8x2R: (3) L§y (2) cëng vîi (3) ta ÷ñc f(x) € f (x) + x2002 Š = 0 ;8x 2R: Tø ¥y suy ra vîi méi gi¡ trà x2 R th¼ ta câ ho°c l  f(x) = 0 ho°c l f(x) = x2002 . Ta s³ ch¿ ra r¬ng º thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n th¼ b­t buëc ph£i câ çng nh§t f(x) 0;8x 2R ho°c f(x) x2002 ;8x 2R: Thªt vªy, v¼ f(0) = 0 trong c£ hai h m sè tr¶n, n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ sû tçn t¤i a 6= 0 sao cho f(a) = 0 , v  tçn t¤i b >0sao cho f(b) = b2002 (v¼ ch¿ c¦n thay x= 0 v o quan h» (1) ta nhªn ÷ñc h m fl  h m ch®n ). Khi â th¸ x= av  y= b v o (1) ta ÷ñc f (b) = f€ a 2002 +bŠ : Vªy ta nhªn ÷ñc d¢y quan h» sau 06= b 2002 = f(b) = f(b) = f€ a 2002 +bŠ = " 0(m¥u thu¨n v¼ 06= 0) (a2002 +b)2002 (m¥u thu¨n v¼ (a2002 +b)2002 <�b 2002 ): B¬ng c¡ch thû l¤i quan h» h m ban ¦u ta k¸t luªn ch¿ câ h m sè f(x) 0;8x 2 R thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. V½ dö 1.9. (H n Quèc 2003 ) T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n f (x f(y )) = f(x) + xf(y) + f(f (y)) ; 8x; y 2R: (4) GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N Gi£i Nhªn th§y h m f(x) 0thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. X²t tr÷íng hñp f(x) 60. a) Th¸ x= f(y )v o (4) ta ÷ñc f(0) = 2f (x) +x2 ! f(x) = x 2 2 + f (0) 2 ; hay f(f (x)) = f 2 (x) 1 + f (0) 2 : b) Th¸ x= f(z ), vîi zl  mët sè thuëc Rth¼ ta ÷ñc f (f (z) f(y )) = f(f (z)) + f(z )f (y) + f(f (y)) : Vîi l÷u þ l  f(f (y)) = f 2 (y ) 2 + f (0) 2 v  f(f (z)) = f 2 (z ) 2 + f (0) 2 ; thay v o quan h» h m ð tr¶n ta ÷ñc f(f (z) f(y )) = (f (z) f(y ))2 2 + f(0): (5) c) Ti¸p theo ta chùng tä tªp ff(x) f(y )jx; y 2Rg =R. Do f(x) 60n¶n tçn t¤i mët gi¡ trà y 0 sao cho f(y 0) = a6= 0 . Khi â tø quan h» (4) ta câ f(x a) = f(x) + xa+f(a) !f(x a) f(x) = ax+f a: V¼ v¸ ph£i l  h m bªc nh§t cõa Xn¶n xa+f a câ tªp gi¡ trà l  to n bë R. Do â hi»uf(x a) f(x) công câ tªp gi¡ trà l  to n bë R, khix2 R. M  ff (x) f(y )jx; y 2Rg f f(x a) f(x)jx 2Rg =R; do â ff(x) f(y )jx; y 2Rg =R. Vªy tø quan h» (5) ta thu ÷ñc f(x) = x 2 2 + f(0); 8x2R: M°t kh¡c ta l¤i câ f(x) = x 2 2 + f(0); 8x2T(f ) n¶n f(0) = 0. Thû l¤i th§y h m sè f(x) = x 2 2 ; 8 x 2 R thäa m¢n quan h» h m. K¸t luªn: Câ hai h m sè thäa m¢n l  f(x) = x 2 2 ; 8x 2R ho°c f(x) 0: Nhªn x²t: B i to¡n tr¶n l§y þ t÷ðng tø b i thi IMO 1996: T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n f(x f(y )) = f(f (y)) + xf(y) + f(x) 1;8x; y 2R: ¡p sè l  f(x) = x 2 2 + 1 ;8x 2R: GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N V½ dö 1.10. (Iran 1999) X¡c ành c¡c h m sèf:R ! Rthäa m¢n f (f (x) + y) = f€ x 2 yŠ + 4 yf(x); 8x; y 2R: Gi£i a) Th¸ y= x2 ta ÷ñc f€ f (x) + x2Š = f(0) + 4x 2 f (x); 8x2R: b) Th¸ y= f (x) ta ÷ñc f(0) = f€ f (x) + x2Š 4 ( f(x)) 2 ;8x 2R: Cëng hai ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta ÷ñc 4f(x) € f (x) x2Š = 0 ;8x 2R: Tø ¥y ta th§y vîi méi x2 R th¼ ho°c l  f(x) 0ho°c l  f(x) = x2 . Ta chùng minh n¸u h m f thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n th¼ fph£i çng nh§t vîi hai h m sè tr¶n. Nhªn th§y f(0) = 0 , tø â thay x= 0 ta ÷ñc f(y ) = f(y );8y 2R, hay fl  h m ch®n. Gi£ sû tçn t¤i a6= 0 ; b6= 0 sao cho f (a) = 0 ; f(b) = b2 , khi â thay x= a; y =b ta ÷ñc f (b) = f(a 2 + b) ! f(b) = f(a 2 + b): Tø â ta câ quan h» sau 06= b 2 = f(b) = f(b) = f€ a 2 + bŠ = " 0(m¥u thu¨n v¼ 06= 0) (a2 + b)2 (m¥u thu¨n v¼ (a2 + b)2 < b 2 ) : Do â x£y ra i·u m¥u thu¨n. Thû l¤i th§y h m sè f(x) 0thäa m¢n y¶u c¦u. Nhªn x²t: 1. Rã r ng b i to¡n VMO 2002câ þ t÷ðng gièng b i to¡n n y. 2. Ngo i ph²p th¸ nh÷ tr¶n th¼ b i to¡n n y ta công câ thº thüc hi»n nhúng ph²p th¸ kh¡c nh÷ sau: a) Th¸ y= 1 2 € x 2 f(x) Š . b) Th¸ y= 0 º câ f(f (x)) = f(x 2 ), sau â th¸ y= x2 f(x). c) Th¸ y= x f(x) v  sau â l  y= x2 x. V½ dö 1.11. T¼m h m sèf:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n: f (x f(y )) = 2 f(x) + x+ f(y );8x; y 2R: (6) Gi£i GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N Nhªn th§y h m f(x) 0khæng thäa m¢n y¶u c¦u. X²t f(x) 60. a) Thay xbði f(y )v o (6) ta ÷ñc f(f (y)) = f(y) + f (0) 2 : b) L¤i thay xbði f(x) ta ÷ñc f(f (x) f(y )) = 2 f(f (x)) + f(x) + f(y ) = 2 ‚ f (x) + f (0) 2 Œ + f(x) + f(y ) = (f (x) f(y )) + f(0): Tuy nhi¶n vi»c chùng minh tªp ff(x) f(y )jx; y 2Rg câ tªp gi¡ trà l  Rch÷a thüc hi»n ÷ñc . c) Tø ¥y ta câ f(f (x) 2f (y)) = f((f (x) f(y )) f(y )) = 2 f(f (x) f(y )) + f(x) f(y ) + f(y ) = 2 ( f(x) f(y )) + 2 f(0) + f(x) = (f (x) 2f (y)) + 2 f(0): Ta s³ chùng minh tªp ff(x) 2f (y)jx; y 2Rg b¬ng vîi R. Thªt vªy tçn t¤i gi¡ trà y 0 2 R sao cho f (y 0) = a6= 0 . Khi â thay y= y 0 v o (6) ta câ f (x a) 2f (x) = x+ a;8x 2R: M  khi x2 R th¼ x+ acâ tªp gi¡ trà l  R. Chùng tä tªp ff(x a) f(x)jx 2Rg =R. M  ff (x) 2f (y)jx; y 2Rg ff (xa) f(x)jx 2Rg n¶n ff(x) 2f (y)jx; y 2Rg =R. Do â tø (c) ta k¸t luªn f(x) = x+ 2f(0); 8x2R. Thay v o (6) ta ÷ñc f(0) = 0. K¸t luªn: H m sè f(x) = x;8x2R thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. V½ dö 1.12. (Belarus 1995) T¼m t§t c£ c¡c h m sèf:R ! Rthäa m¢n f (f (x +y)) = f(x +y) + f(x)f (y) xy; 8x; y 2R: Gi£i Rã r ng fkh¡c h¬ng sè. a) y= 0 v o i·u ki»n b i to¡n ta ÷ñc f(f (x)) = (1 + f(0)) f(x); 8x2R: b) Trong ¯ng thùc tr¶n thay xbði x+ yth¼ (1 + f(0)) f(x +y) = f(f (x +y)) = f(x +y) + f(x)f (y) xy; ìn gi£n ta ÷ñc f(0):f (x+y) = f(x)f (y) xy: (7) GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N c) Thay y= 1 v o (7) th¼ f(0)f (x+ 1) = f(x)f (1)x: d) L¤i thay y= 1 v xbði x+ 1 v o (7) ta câ f (0):f (x) = f(x + 1):f (1) + x+ 1 : K¸t hñp hai ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc €(f (0)) 2 f(1)f (1) Š f(x) = ( f(0) f(1)) x+ f(0): N¸u (f(0)) 2 f(1)f (1) = 0, th¼ thay x= 0 v o ph÷ìng tr¼nh cuèi còng ta ÷ñc f(0) = 0, n¶n theo (7) th¼ f(x)f (y) = xy:Khi â f(x)f (1) = x;8x 2R, i·u n y d¨n ¸n (f(0)) 2 f(1)f (1) = 1, m¥u thu¨n. Vªy (f(0)) 2 f(1)f (1) 6= 0, suy ra f(x) l  mët a thùc bªc nh§t n¶n câ d¤ng f(x) = ax+b. Thay v o quan h» h m ban ¦u suy ra a= 1 ; b= 0 . Vªy h m sè thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l  f(x) = x;8x 2R. Nhªn x²t: N¸u chàu khâ t½nh ta s³ t½nh ÷ñc f(0) = 0 b¬ng c¡ch th¸ c¡c bi¸n x; ybði hai sè 0 v  1. V½ dö 1.13. (VMO 2005) H¢y x¡c ành t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n f (f (x y)) = f(x)f (y) f(x) + f(y ) xy; 8x; y 2R: (8) Gi£i a) Th¸ x= y= 0 v o (8) ta ÷ñc f(f (0)) = (f (0))2 : b) Th¸ x= yv o (8) v  sû döng k¸t qu£ tr¶n th¼ (f(x)) 2 = ( f(0)) 2 + x2 ; 8x 2R: Suy ra (f(x)) 2 = ( f(x)) 2 ! jf (x)j=jf(x)j ;8x 2R. c) Th¸ y= 0 v o (8) ÷ñc f(f (x)) = f(0)f (x)f(x) + f(0); 8x2R (): d) Th¸ x= 0 ; y=x v o (8) ÷ñc f(f (x)) = f(0)f (x) + f(x) a;8x 2 R: Tø hai ¯ng thùc tr¶n ta câ f(0) (f (x)f(x)) + f(x) + f(x) = 2 f(0); 8x2R: (9) Gi£ sû tçn t¤i x 0 6= 0 sao cho f(x 0) = f(x 0), th¼ th¸ x= x 0 v o (9) ta câ f (x 0) = f(0) ! (f(x 0)) 2 = ( f(0)) 2 ! (f(0)) 2 + x2 0 = ( f(0)) 2 + 0 2 !x 0= 0 m¥u thu¨n GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N Vªy f(x) = f(x); 8x2R, tø i·u n y k¸t hñp vîi (9) ta câ f(0) (f (x)1) = 0; 8x 2 R: Tø ¥y suy ra f(0) = 0, v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ f(x) = 1 ;8 x 6= 0 , tr¡i vîi i·u ki»n fl  h m l´. Tø ¥y ta nhªn ÷ñc quan h» quen thuëc (f(x)) 2 = x2 ; 8 x 2 R: Gi£ sû tçn t¤i x 0 2 R sao cho f(x 0) = x 0, khi â trong (*) ta câ x 0 = f(x 0) = f(f(x 0)) = f(x 0) = x 0; væ lþ. Vªy chùng tä f(x) = x;8x2R. Thû l¤i th§y h m n y thäa m¢n b i to¡n. Nhªn x²t: B i to¡n tr¶n cho k¸t qu£ l  h m ch®n f(x) = x. N¸u v¨n giúa nguy¶n v¸ ph£i v  º nhªn ÷ñc h m l´ f(x) = x, ta sûa l¤i dú ki»n trong v¸ tr¡i nh÷ trong v½ dö sau V½ dö 1.14. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n f (f (x) y) = f(x) f(y ) + f(x)f (y) xy; 8x; y 2R: Gi£i a) Th¸ y= 0 ta ÷ñc f(f (x)) = f(x) f(0) + f(0):f (x);8x 2 R: (10) b) Th¸ y= f(x) v  sû döng k¸t qu£ tr¶n, ta ÷ñc f(0) = f(x) f(f (x)) + f(x):f (f(x)) xf (x) ( ) = f(0) 2f (0):f (x) + (f (x))2 + f(0): (f(x)) 2 xf (x); hay 2f(0):f (x) + (f (x))2 + f(0): (f(x)) 2 xf (x) = 0 ;8 x 2 R: c) Th¸ x= 0 v o ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc (f(0)) 2 (f(0)) 2 = 0 !f(0) = 0 ho°cf(0) = 1: d) N¸u f(0) = 0 th¼ thay v o (10) ta câ f(f (x)) = f(x); 8x 2 R, thay k¸t qu£ n y v o trong (*) ta câ f (x) = x. e) N¸u f(0) = 1 thay v o (10) ta câ f(f (x)) = 2 f(x) 1, thay v o trong (*) ta câ f(x) = 1 2 x + 1 : K¸t luªn: Thay v o ta th§y ch¿ câ h m sè f(x) = x;8x 2 R l  thäa m¢n y¶u c¦u. V½ dö 1.15. (AMM,E2176). T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:Q ! Qthäa m¢n i·u ki»n f (2) = 2 v f‚ x+ y x yŒ = f (x) + f(y ) f (x) f(y ); 8x 6=y: Gi£i GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N Ta s³ chùng minh f(x) = xl  nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n düa v o mët chuéi c¡c sü ki»n sau. Tr÷îc ti¶n nhªn th§y fkhæng thº l  h m h¬ng. a) T½nh f(0); f (1). Thay y= 0 ta nhªn ÷ñc f (1) = f (x) + f(0) f (x) f(0) ! (f(1) 1) f(x) = f(0) (1 + f(1)) ;8x 2Q: Suy ra f(1) = 1; f (0) = 0. b) H m fl  h m l´. Thay y= x ta câ 0 = f(0) = f(x) + f(x) !f(x) = f(x); 8x 2 Q: c) Thay y= cx; c 6= 1; x6= 0 ta câ f(x) + f(cx) f (x) f(cx) = f 1 + c 1 c = 1 + f(c) 1 f(c) ; suy ra f(cx) = f(c):f (x), l§y c= q; x =p q th¼ ta ÷ñc f‚ p q Œ = f (p) f (q ) V½ dö 1.16. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n f € (x y)2 Š = ( f(x)) 2 2xf (y) + y2 ; 8x; y 2R: Gi£i Thay x= y= 0 th¼(f(0)) = (f (0))2 ! f(0) = 0 ho°cf(0) = 1. 1. N¸u f(0) = 0, th¼ thay x= yv o i·u ki»n ban ¦u ta ÷ñc f (0) = (f (x))2 2xf (x) + x2 = ( f(x) x)2 ! f(x) = x;8x 2 R: Nhªn th§y h m sè n y thäa m¢n. 2. N¸u f(0) = 1 th¼ l¤i v¨n thay x= y= 0 ta nhªn ÷ñc, vîi méi x2 R th¼ ho°c l  f(x) = x+ 1 ho°c f(x) = x 1. Gi£ sû tçn t¤i gi¡ trà asao cho f(a) = a 1. Khi â thay x= a; y = 0 ta ÷ñc f € a 2Š = a2 4a + 1 : Nh÷ng ta l¤i câ ho°c l  f(a 2 ) = a2 + 1 ho°c l  f(a 2 ) = a2 1. Do â ta ph£i câ ho°c l  a 2 4a + 1 = a2 + 1 ho°c a2 4a + 1 = a2 1, tùc a= 0 ho°c l  a= 1 2 . Tuy nhi¶n kiºm tra ·u khæng thäa. Vªy h m sè thäa m¢n y¶u c¦u l  f(x) = x;8x 2R ho°c l  f(x) = x+ 1 ;8x 2R. V½ dö 1.17. (THTT T9/361) T¼m t§t c£ c¡c h m sèf:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n f € x 3 yŠ + 2 y€ 3 ( f(x)) 2 + y3Š = f(x +f(y )) ;8x; y 2R: GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 1 PH×ÌNG PHP TH˜ BI˜N Gi£i a) Thay y= x3 ta câ f(0) + 2x 3€ 3 ( f(x)) 2 + x6Š = f€ x 3 + f(x) Š ;8x 2R: b) Thay y= f (x) ta ÷ñc f€ x 3 + f(x) Š 2f (x) € 3 ( f(x)) 2 + (f (x))2 Š = f(0); 8x2R: Tø hai ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc 2x3€ 3 ( f(x)) 2 + x6Š = 8 ( f(x)) 3 ;8x 2R: Do â 0 = 4 ( f(x)) 2 x3 € 3 ( f(x)) 2 + x6Š = € 4 ( f(x)) 3 4 ( f(x)) 2 :x 3Š + € (f (x)) 2 :x 3 x9Š = € f (x) x3Š € 4 (f(x)) 2 + x3 € f (x) + x3ŠŠ =€ f (x) x3Š ‚ 2f (x) + x 3 4 Œ 2 + 15 16 x 6! : Chó þ r¬ng ‚ 2f (x) + x 3 4 Œ 2 + 15 16 x 6 = 0 th¼x= 0; f (0) = 0 . Bði vªy trong måi tr÷íng hñp ta ·u câ f (x) = x3 . Thû l¤i th§y h m sè n y thäa m¢n b i to¡n. GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 2 PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY 2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy PH×ÌNG TRœNH H€M CÆSI(H€M TUY˜N TNH) Version 5.0 updated to 24 10 2008 I.ành ngh¾a: Mët h m sè f:R ! Rgåi l  tuy¸n t½nh n¸u: f(x +y) = f(x) + f(y ); 8x; y 2R (H m sè tuy¸n t½nh cán ÷ñc gåi l  h m Cauchy) II. Mët sè t½nh ch§t T½nh ch§t 1. H m ftuy¸n t½nh v  thäa m¢n x 0th i f (x) 0, khi â fl  h m çng bi¸n. (N¸u vîi måi x 0) f(x) 0th¼ h m nghàch bi¸n). Chùng minh X²t x y) y x 0) f(y x) 0Ta câ f(y ) = f(y x+ x) = f(y x) + f(x) f(x). Vªy fl  h m t«ng. T½nh ch§t 2. H m tuy¸n t½nh fl  h m l´. Chùng minh Ta câ f(0) = f(0 + 0) = 2f (0) )f(0) = 0 . Tø â f(0) = f(x + ( x)) = f(x) + f(x) = 0 )f(x) = f(x); 8x2R. Vªy f l  h m l´. T½nh ch§t 3. H m tuy¸n t½nh fli¶n töc t¤i x= 0 th¼ li¶n töc tr¶n to n tªp sè thüc R. Chùng minh X²t x 0 2 R b§t ký, ta câ: lim x!x 0[f (x) f(x 0)] = lim x!x 0 [f (x) + f(x 0)] = lim x!x0f (x x 0) = lim y !0 f (y ) = f(0) = f(0) = 0 Vªy h m sè li¶n töc t¤i x 0 2 R. Do x 0 l§y b§t ký tr¶n Rn¶n chùng tä h m sè li¶n töc tr¶n to n bë R. T½nh ch§t 4. H m sè ftuy¸n t½nh v  çng bi¸n tr¶n Rth¼ li¶n töc tr¶n R. Chùng minh Cho y= 0 )f(x) = f(x) + f(0) )f(0) = 0 Choy= x) f(2x) = 2 f(x), b¬ng quy n¤p ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc: f(nx) = nf(x); 8n2N; 8x2R(1) M°t kh¡c tø cæng thùc (1) suy ra f(x) = nf€ x n Š hay f€ x n Š = 1 n f (x); 8x2R; 8n 2N, do â: f€ m n Š x = m n f (x); 8x 2 R; 8m; n 2N hay f(qx) = qf(x); 8q2Q; 8x 2R ¸n ¥y ta câ thº gi£i quy¸t theo hai c¡ch sau: Vîi " >0b§t ký, chån = " 1+jf (1)j+jf (1)j, khi â vîi måi x2 R; jxj< theo t½nh ch§t cõa tªp sè thüc th¼ tçn t¤i m; n 2N sao cho jxj 0) Chùng minh Nhªn th§y h m çng nh§t f(x) 0thäa m¢n quan h» â. X²t h m khæng çng nh§t 0, khi â tçn t¤i x 0 :f (x 0) 6= 0 th¼:f(x 0) = f((x 0 x) + x) = f(x 0 x)f (x) 6= 0 )f(x) 6= 0 8x2R V  công thäa i·u ki»n luæn d÷ìng, thªt vªy: f(x) = f€ x 2 + x 2 Š = f2€ x 2 Š > 08x 2 R Do â ¸n ¥y ta ch¿ c¦n °t lnf(x) = g(x) th¼ ta câ quan h»: g(x +y) = g(x) + g(y )Vªy g(x) = bx; b2R tòy þ. Vªy f (x) = ebx = ax (a > 0). Vªy hai h m thäa m¢n quan h» â l : B¦y gií l¤i tø h m Cauchy n¶u ta n¥ng lôy thøa cõa bi¸n l¶n tø xth nh ex ta ÷ñc quan h» l  f (e x+y ) = f(e x ) + f(e y ) ) g(x +y) = g(x) + g(y )vîi g(x) = f(e x ) v  h m g thu ÷ñc l¤i ch½nh l  h m Cauchy. M°t kh¡c tø f(e x+y ) = f(e x ) + f(e y ) ) f(e x :e y ) = f(e x ) + f(e y ), b¥y gií thay ng÷ñc trð l¤i ex bði xth¼ ta ÷ñc quan h» mîi l  f(xy ) = f(x) + f(y ). Quan h» n y vîi quan h» Cauchy t÷ìng t¡c vîi nhau bði vi»c n¥ng lôy thøa cõa bi¸n. Tuy nhi¶n vi»c n¥ng lôy thøa cõa bi¸n l¤i câ y¶u c¦u bi¸n ph£i d÷ìng. N¸u câ mët bi¸n b¬ng 0 th¼ b i to¡n trð n¶n d¹ d ng vîi k¸t qu£ l  f(x) 0, n¸u c£ hai bi¸n còng d÷ìng th¼ b i to¡n chuyºn v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy qua ph²p n¥ng bi¸n l¶n lôy thøa. N¸u c£ hai sè còng ¥m th¼ t½ch xyl  sè d÷ìng n¶n l¤i quy v· tr÷íng hñp hai bi¸n còng d÷ìng. H» qu£ 2. C¡c h m sè f(x)li¶n töc tr¶n Rnf0gthäa m¢n i·u ki»n: f(xy ) = f(x) + f(y )8x; y 2R (2)l : f(x) = bln jxj 8x 2Rnf0g; b 2R Chùng minh N¸u x= y= 1 th¼ tø (3) ta ÷ñc f(1) = 0. L¤i cho x= y= 1 ta ÷ñc f(1) = 0. B¥y gií cho y= 1 th¼ ta ÷ñc f(x) = f(x) 8x2R. Do â fl  h m ch®n. a) X²t x; y2R+ , °t x= eu ; y =ev ; f (eu ) = g(u) ta ÷ñc g(u +v) = g(u) + g(v )8u; v 2R , g(t) = bt) f(x) = aln x8x 2 R+ ; a 2R b) N¸u x; y2R th¼ xy2R+ n¶n vîi y= xta ÷ñc: f (x) = 1 2 f (x 2 ) = 1 2 b ln(x 2 ) = bln jxj 8x 2R ; b 2R L¤i ti¸p töc tø quan h» h m f(x +y) = f(x):f (y)ta l¤i n¥ng bi¸n theo lôy thøa cõa eth¼ câ d¤ng f (e x+y ) = f(e x )f (ey ) ) f(e x :e y ) = f(e x )f (ey ) v  ta ÷ñc quan h» h m: g(xy ) = g(x)g (y)Hiºn nhi¶n b i to¡n câ ngay líi gi£i n¸u mi·n x¡c ành chùa sè 0. Do â ta °t v§n · â nh÷ sau: H» qu£ 3. C¡c h m f(x) li¶n töc tr¶n Rnf0gthäa m¢n i·u ki»n:f (xy) = f(x)f (y); 8x; y 2Rnf0gl : GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 2 PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY f (x) = 0 f(x) = jxj f(x) = 8 < : x \f ;8x 2R+ jxj \f ; 8x 2 R Chùng minh Thay y= 1 )f(x)(1 f(1)) = 0; 8x 2Rnf0g (1) N¸u f(1) 6= 1 th¼ tø (1) suy ra f(x) 0;8x 2Rnf0g X²tf(1) = 1 , khi â 1 = f(1) = f€ x: 1 x Š = f(x)f € 1 x Š ; 8x 2Rnf0g. Vªy f(x) 6= 0; x 2Rnf0g. a) X²t x; y2R+ , °t x = eu ; y =ev va g(t) = f(e t ). Khi â ta câ: g(u +v) = g(u)g (v); 8u; v 2R Vªy g(t) = at 8t 2R(a > 0 tuy y u) v  do â: f(x) = f(e u ) = g(u) = au = aln x = xln a = x ; 8x 2R+ trong â = lnab) B¥y gií ta x²t tr÷íng hñp x6= 0; y 6= 0b§t ký th¼ cho v  x= y= t ta nhªn ÷ñc f2 (t) = f(t 2 ) = f (t)f (t) = f2 (t) )" f(t) = f(t) = tc (hay 0) f (t) = f(t) = tc Vªy trong tr÷íng hñp têng qu¡t ta câ c¡c nghi»m l : a) f(x) = 0 b)f(x) = jxj f(x) = 8 < : x \f ;8x 2R+ jxj \f ; 8x 2R Tø quan h» h m Cauchy f(x +y) = f(x) + f(y )ta thüc hi»n v¸ tr¡i theo trung b¼nh cëng v¸ tr¡i theo bi¸n v  trung b¼nh cëng v¸ ph£i theo h m sè th¼ ta nhªn ÷ñc: H» qu£ 4(H m Jensen). C¡c h m f(x) li¶n töc tr¶n Rthäa m¢n f€ x+y 2 Š = f (x)+f (y) 2 (4) l :f (x) =ax+b Chùng minh Cho y= 0 )f€ x 2 Š = f (x)+f (0) 2 . Vªy: f (x)+f (y) 2 = f€ x+y 2 Š = f (x+y )+f(0) 2 ) f(x +y) + f(0) = f (x) + f(y )°t g(x) = f(x) f(0) th¼ ta câ g(x +y) = g(x) + g(y )hay g(x) = ax)f(x) = ax+b L¤i trong quan h» h m Jensen ta thüc hi»n logarit Nepe nëi t¤i cõa bi¸n(d¾ nhi¶n trong tr÷íng hñp c¡c bi¸n d÷ìng, ta ÷ñc:f € ln x+ln y 2 Š = f (ln x)+f (lny) 2 , f(ln p xy ) = f (ln x)+f (lny) 2 . Tø v§n · n y °t ng÷ñc l¤i ta ÷ñc h» qu£ sau: H» qu£ 5. C¡c h m f(x) x¡c ành v  li¶n töc tr¶n R+ thäa m¢n i·u ki»n: f € p xy Š = f (x)+f (y) 2 8x; y 2R+ (5) l  f(x) = aln x+ bi·u ki»n x; y2R+ l  º cho h m sè luæn ÷ñc x¡c ành. Chùng minh °t x= eu ; y =ev ; g (u) = f(e u ). Khi â g(u) li¶n töc tr¶n Rv  thäa m¢n i·u ki»n: g€ u+v 2 Š = g (u)+g (v) 2 8u; v 2R Suy ra g(u) = au+b) f(x) = aln x+ b; 8x 2R+ . Công l¤i tø quan h» h m f€ x+y 2 Š = f (x)+f (y) 2 n¸u ta vi¸t ÷ñc v o d÷îi d¤ng cõa biºu di¹n logarit tùc l : lnf€ x+y 2 Š = ln f(x)+ln f(y ) 2 ) lnf€ x+y 2 Š = ln È f (x)f (y) ) f€ x+y 2 Š = È f (x)f (y)Tùc l  ta ÷ñc quan h» h m: f€ x+y 2 Š = È f (x)f (y). Vªy ta câ: H» qu£ 6. H m sè f:R ! Rli¶n töc thäa f € x+y 2 Š = È f (x)f (y)(6) l : 2 4 f (x) 0 f (x) = eax +b (a; b 2R) Chùng minh Tø i·u ki»n b i to¡n cho x= y) f(x) = È f 2 (x) 0. N¸u tçn t¤i x 0 : f (x 0) = 0 th¼: f € x0+y 2 Š = È f (x 0)f (y) = 0 8y2R tùc l  f(x) 0N¸u f(x) >0th¼ thüc hi»n logarit Nepe hai v¸ ÷a v· h m Jensen ta ÷ñc:f (x) =eax +b ; a; b tòy þ thuëc R. Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh. L¤i tø quan h» h m trong h» qu£ 5, thüc hi»n ph²p to¡n nghàch £o h m sè(gi£ sû thüc hi»n ÷ñc) ta câ: 1 f (p xy ) = 1 f (x) + 1 f (y ) 2 , b¬ng c¡ch °t g(x) = 1 f (x) ta nhªn ÷ñc h» qu£ sau: H» qu£ 7. C¡c h m f(x) x¡c ành v  li¶n töc tr¶n R+ thäa m¢n i·u ki»n:f (p xy ) = 2 1 f (x) + 1 f (y ) 8x; y 2R+ (7) l  h m h¬ng f(x) = b2 Rnf0g Chùng minh Tø gi£ thi¸t b i to¡n suy ra f(x) 6= 0 8x2R+ . Ta câ 1 f (p xy ) = 1 f (x) + 1 f (y ) 2 ) g(p xy ) = g (x)+g (y) 2 8x; y 2R+ vîi g(x) = 1 f (x) Theo h» qu£ 5 th¼ g(x) = a ln x+ b) f(x) = 1 a ln x+b . º f(x) li¶n töc tr¶n R+ th¼: aln x+ b6= 0 ;8x 2R+ n¶n a= 0 ; b6= 0 . Vªy f (x) = b2 Rnf0g(pcm). Tø quan h» h m Jensen n¸u ta thüc hi»n nghàch £o(vîi h m sè) th¼ ta câ: 1 f ( x+y 2 ) = 1 f (x) + 1 f (y ) 2 = f (x)+f (y) 2f (x)f (y) hay f€ x+y 2 Š = 2f (x)f (y) f (x)+f (y) Tuy nhi¶n º £m b£o cho ph²p nghàch £o h m luæn thüc hi»n ÷ñc th¼ ta ch¿ c¦n giîi h¤n gi¡ trà h m trong R+ . Do â ta nhªn ÷ñc k¸t qu£: H» qu£ 8. H m sè f:R ! R+ GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 2 PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY li¶n töc thäa m¢n f€ x+y 2 Š = 2f (x)f (y) f (x)+f (y) (8) l  f(x) = 1 b ; b > 0 Chùng minh Ch¿ c¦n °t g(x) = 1 f (x) , ta nhªn ÷ñc quan h» h m Jensen theo h m g(x) n¶ng (x) = cx +d. Do â f(x) = 1 cx+d . Tuy nhi¶n h m sè n y c¦n ph£i thäa m¢n i·u ki»n f(x) 2R+ n¶n: 1 cx+d > 0;8x 2 R )c = 0; b > 0, vªy h m thu ÷ñc l  f(x) = 1 b ; b > 0tòy þ. L¤i v¨n trong quan h» h m Jensen n¸u ta thüc hi»n ph²p b¼nh ph÷ìng v o h m sè th¼ ta nhªn ngay ÷ñc h» qu£ sau: H» qu£ 9. H m sè f(x)li¶n töc tr¶n Rthäa f€ x+y 2 Š = q [f (x)] 2 +[f (y)]2 2 (9) l  f(x) = cvîi c 0. Chùng minh Tø quan h» h m sè suy ra f(x) 0;8x 2R. Ta câ: € f € x+y 2 ŠŠ 2 = [f (x)] 2 +[f (y)]2 2 . °t g(x) = [f (x)]2 th¼ ta nhªn ÷ñc quan h» h m Jensen cho h m g(x)n¶n g(x) = ax+b. Do â f(x) = p ax +b. M  theo i·u ki»n th¼ p ax +b 0;8x 2 R ) a= 0 ; b0Ta ÷ñc h m f(x) = b; b0. Tø quan h» h m trong h» qu£ 6, n¸u ta thüc hi»n ph²p n¥ng lôy thøa l¶n cì sè e(èi vîi bi¸n) th¼ ta câ: f e x+y 2 = È f (e x )f (ey ) ) f(p e x :e y ) = È f (e x )f (ey ) Thay ng÷ñc l¤i bi¸n d¤ ng b¼nh th÷íng ta nhªn ÷ñc k¸t qu£: H» qu£ 10. H m sè f(x) x¡c ành v  li¶n töc tr¶n R+ thäa f(p xy ) = È f (x)f (y);8x; y 2R+ (10) l : " f(x) 0 f (x) = c:xa ; a 2R; c > 0Chùng minh °t x= eu ; y =ev ; f (eu ) = g(u) th¼ ta nhªn ÷ñc: g€ u+v 2 Š = È g (u)g (v), theo h» qu£ 6 th¼: " g(u) 0 g (u) = eau +b. Vªy 2 4 f (x) 0 f (x) = ea ln x+b =c:x a ; c > 0; a2R. Trong quan h» h m cõa h» qu£ 5, n¸u ta thüc hi»n theo quan h» h m b¼nh ph÷ìng, tùc l  f2 (p xy ) = f 2 (x)+f 2 (y ) 2 , thüc hi»n c«n bªc hai hai v¸ ta ÷ñc h» qu£ 11. H» qu£ 11. H m sè f(x) x¡c ành v  li¶n töc tr¶n R + thäa f(p xy ) = q f 2 (x)+f 2 (y ) 2 ; 8 x; y 2R+ (11) l  f(x) c; c 0Chùng minh Tø gi£ thi¸t cõa h m d¹ th§y f(x) 0;8x 2R+ . °t x= eu ; y =ev ; [f (eu )] 2 = g(u). Khi â g(u) 0;v  ta câ: g € u+v 2 Š = g (u)+g (v) 2 ; 8u; v 2R Vªy g(u) = au+b. º g(u) 0;8u 2 Rth¼ a= 0 ; b0. Do â f (x) c; c 0. L¤i tø quan h» h m Jensen f€ x+y 2 Š = f (x)+f (y) 2 , ta x²t ph²p g¡n h m f(x) = g€ 1 x Š th¼ ta nhªn ÷ñc quan h» h m sè: g 1 (x+y )=2 = g ( 1 x ) +g (1 y ) 2 , g 2 x+y = g ( 1 x ) +g (1 y ) 2 , thay ng÷ñc trð l¤i bi¸n b¼nh th÷íng ta ÷ñc: H» qu£ 12. H m sè f(x) li¶n töc tr¶n Rnf0gthäa m¢n f „ 2 1 x + 1 y Ž = f (x) + f(y ) 2 ; 8x; y; x +y6= 0 (12) l  h m sè f(x) = a x + b; a; b 2R tòy þ. Gi£i Vîi c¡ch thi¸t lªp nh÷ tr¶n th¼ ta câ g(x) = ax+b, vîi g(x) = f€ 1 x Š , khi â th¼ f(x) = a x + b; a; b 2R. L¤i tø quan h» h m Jensen f€ x+y 2 Š = f (x)+f (y) 2 , ta x²t ph²p g¡n h m f(x) = 1 g ( 1 x ) th¼ ta nhªn ÷ñc quan h» h m: 1 g 1 x+y 2 ‹ = 1 g ( 1 x ) + 1 g ( 1 y ) 2 =g € 1 x Š + g 1 y 2g € 1 x Š g 1 y , g‚ 2 x + yŒ = 2g € 1 x Š g 1 y g € 1 x Š + g 1 y = 2 1 g ( 1 x ) + 1 g ( 1 y ) Thay ng÷ñc l¤i bi¸n ta ÷ñc: H» qu£ 13. H m sè f(x) x¡c ành li¶n töc tr¶n Rnf0gthäaf 2 1 x + 1 y ‹ = 2 1 f (x) + 1 f (y )(13) l  2 6 6 4 f (x) = x a ; a 6= 0 f (x) = 1 b ; b 6= 0 . B¬ng c¡ch thüc hi»n c¡c ph²p to¡n khai c«n, n¥ng lôy thøa, logarit GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 2 PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY Nepe nh÷ trong c¡c ph¦n tr÷îc ta thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ t÷ìng tü sau: H» qu£ 14. H m sè f(x) x¡c ành li¶n töc tr¶n Rnf0gthäaf 2 1 x + 1 y ‹ = È f (x)f (y);8x; y; x +y6= 0 (14) l : 2 4 f (x) 0 f (x) = ea x +b ; a; b 2R H» qu£ 15. H m sè f(x) x¡c ành li¶n töc tr¶n Rnf0gthäaf 2 1 x + 1 y ‹ = q [f (x)] 2 +[f (y)]2 2 ; 8x; y; x +y6= 0 (15) l : f (x) c; c 0tòy þ. H» qu£ 16. C¡c h m f(x) 0x¡c ành li¶n töc tr¶n R+ thäa f p x 2 +y 2 2 = q [f (x)] 2 +[f (y)]2 2 ; 8 x; y 2R+ (16) l : f(x) = p ax 2 + bvîi a; b 0tòy þ. H» qu£ 17. C¡c h m sè f(x) x¡c ành, li»n töc tr¶n Rv  thäa f p x 2 +y 2 2 = f (x)+f (y) 2 ; 8x; y 2R (17) l : f(x) = ax2 + b;8a; b 2R H» qu£ 18. C¡c h m sè f(x) x¡c ành, li»n töc tr¶n Rthäa f p x 2 +y 2 2 = È f (x)f (y);8x; y 2R (18) l : 2 4 f (x) 0 f (x) = eax 2 +b ;8a; b 2R H» qu£ 19. C¡c h m sè f(x) x¡c ành, li»n töc tr¶n Rthäa f p x 2 +y 2 2 = 2 1 f (x) + 1 f (y ); 8 x; y 2R (19) l : f(x) = 1 ax 2 +b vîi ab0; b 6= 0 tòy þ. IV. C¡c b i tªp vªn döng B i to¡n 1. T¼m t§t c£ c¡c h m f(x) li¶n töc tr¶n Rthäa: f(x +y) = f (x) + f(y ) + f(x)f (y)Gi£i: Tø b i to¡n ta câ: f(x +y) + 1 = ( f(x) + 1)( f(y ) + 1) n¶n °t g(x) = f(x) + 1 th¼ ta câ g(x +y) = g(x):g (y)) g(x) = ax vªy f(x) = ax 1. B i to¡n 2. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f(x) li¶n töc tr¶n Rthäa m¢n i·u ki»n: f(x) + f(y ) f(x +y) = xy; 8x; y 2R Gi£i Ta câ thº vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh h m d÷îi d¤ng: f (x) + f(y ) f(x +y) = 1 2 [(x +y)2 (x2 + y2 )] , f(x) + 1 2 x 2 + f(y ) + 1 2 y 2 = f(x +y) + 1 2 (x +y)2 °t g(x) = f(x) + 1 2 x 2 th¼ ta câ g (x) l  h m li¶n töc tr¶n Rthäa m¢n i·u ki»n: g(x) + g(y ) = g(x +y) Vªy g(x) = ax;8x2R, al  mët h¬ng sè thüc, n¶n f(x) = 1 2 x 2 + ax. Thû l¤i th§y h m n y thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. B i to¡n 3. Cho a 2 R, t¼m t§t c£ c¡c h m li¶n töc f:R ! Rsao cho: f(x y) = f(x) f(y ) + axy; 8x; y2R Gi£i Cho x = 1 ; y= 0 )f(1) = f(1) f(0) n¶n f(0) = 0. L¤i cho x= y= 1 )f(0) = f(1) f(1) + a) a= 0 . Vªy vîi a6= 0 th¼ khæng tçn t¤i h m sè. Ta vi¸t l¤i quan h» h m f(x y) = f(x) f(y ); 8x; y 2R Tø ¥y ta ÷ñc: f(x) = f(x +y y) = f(x +y) f(y )) f(x +y) = f(x) + f(y ); x; y 2R Vªy f (x) = ax;8x2R B i to¡n 4. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f(x) x¡c ành li¶n töc tr¶n R+ thäa m¢n i·u ki»n:f x y = f(x) f(y )8x; y 2R+ Gi£i °t x y = t! x= ty thay v o ta câ: f(t) = f(ty ) f(y )) f (ty ) = f(t) + f(y ). Vªy f(x) = aln x8x 2 R+ ; a 2R. B i to¡n 5. Cho a; b2Rnf0g, t¼m c¡c h m f(x) x¡c ành li¶n töc tr¶n Rv  thäa m¢n i·u ki»n: f (ax +by) = af(x) + bf(y)8x; y 2R(1) Gi£i Cho x= y= 0 v o (1) ta ÷ñc: f(0)(a +b 1) = 0 N¸u a+ b6= 1 th¼f(0) = 0 . Vªy i·u ki»n Cauchy ÷ñc thäa m¢n, n¶n khi â th¼ f(ax) = af(x) v  f(bx) = bf(x), v  ta câ quan h» f(ax +by) = f(ax) + f(by );8x; y 2R. Vªy f(x) = x. N¸u a + b= 1 th¼ nhªn gi¡ trà tòy þ, vªy ta ph£i °t mët h m mîi º ÷ñc quan h» Cauchy l  g(x) = f (x) f(0) th¼g(0) = 0 v  t÷ìng tü nh÷ ph¦n tr¼nh b y tr¶n ta câ f(x) = cx+dVªy: f(ax +by) = af (x) + bf(y)8x; y 2R l : " a + b= 1 )f(x) = cx; c2R a + b= 1 )f(x) = cx+d; c; d 2R Nhªn x²t: Vîi c¡ch l m t÷ìng tü cho quan h» f(ax +by) = af(x) + bf(y)B i to¡n 6. X¡c ành c¡c h m sè fli¶n töc tr¶n Rthäa m¢n i·u ki»n:f (2xy) = 2 f(x) f(y ); 8x; y 2R Gi£i °t g(x) = f(x) f(0) th¼g(0) = 0 , tø ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta thu ÷ñc: g(2x y) = 2 g(x) g(y ); 8x; y 2R Cho y= 0 )g(2x) = 2 g(x) v  cho x= 0 )g(y ) = g(y). Thay v o tr¶n ta ÷ñc: g(2x y) = g(2x) g(y ); 8x; y 2R Vªy g (x +y) = g€ 2: x 2 1: y 1 Š = g(x) g(y ) = g(x) + g(y ); 8x; y 2R. Do â: g(x) = ax; x 2R, a l  sè thüc GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 2 PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY tòy þ. Vªy f(x) = ax+b, thû l¤i th§y h m n y thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. B i to¡n 8(· nghà IMO 1979). Chùng minh r¬ng måi h m f:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n: f(xy +x+ y) = f(xy ) +f(x) + f(y ); 8x; y 2R khi v  ch¿ khi f(x +y) = f(x) + f(y ); 8x; y 2R Gi£i D¹ th§y n¸u ftuy¸n t½nh th¼ fthäa m¢n h» thùc ¦u ti¶n. Gi£ sû f(xy +x+ y) = f(xy ) + f(x) + f(y ); 8x; y 2R °t y= u+ v+ uv ta ÷ñc: f (x +u+ v+ xu +xv +uv +xuv ) = f(x) + f(u +v+ uv ) + f(xu +xv +xuv )Ho¡n êi vai trá cõa xv  u ta ÷ñc: f(u +x+ v+ ux +uv +xv +uxv ) = f(u) + f(x +v+ xv ) + f(ux +uv +uxv )So s¡nh hai ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc: f(x) + f(u +v+ uv ) + f(xu +xv +xuv )=f(u) + f(x +v+ xv ) + f(ux +uv +uxv ) Hay f(uv ) + f(xu +xv +xuv ) = f(xv ) + f(xu +uv +xuv )L§y x= 1 ta câ f(u) + 2 f(uv ) = f (u + 2 uv), theo v½ dö 4 ta câ i·u ph£i chùng minh. B i to¡n 9. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f(x) li¶n töc tr¶n Rthäa m¢n i·u ki»n: f(x)f (y) f(x +y) = sin x:sin y;8x; y 2R Gi£i Thay y= 0 ta câ f (x)[f (0)1] = 0 )f(0) = 1 , v¼ d¹ d ng nhªn th§y f(x) 0; 8x 2R khæng l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh. Thay y= x ta nhªn ÷ñc: f(x)f (x) f(0) = sin2 x; 8x 2R ) f(x)f (x) = 1 sin 2 x = cos 2 x; 8x2R(1). Thay x= 2 v o (1) ta ÷ñc n¶n: f€ 2 Š :f € 2 Š = 0 Ho°c f€ 2 Š = 0 thay v o h m ta ÷ñc: f€ x + 2 Š = sin x) f€ x + 2 Š = sin x! f(x) = sin € x 2 Š = cos x;8x 2R Ho°c f€ 2 Š = 0 thay v o h m ta ÷ñc: f€ x 2 Š = sin x) f(x) = sin € x + 2 Š = cos x;8x 2R D¹ d ng kiºm tra l¤i th§y f(x) = cos xl  h m thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. B i to¡n 10. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n f(x +y xy ) + f(xy ) = f(x) + f(y )(1) vîi måi x; y2R. Gi£i Ta chùng minh n¸u fl  h m sè thäa m¢n i·u ki»n b i to¡n th¼ h m sè F(x) = f(x + 1) f(x) s³ thäa m¢n i·u ki»n h m Cauchy F(u +v) = F(u) + F(v )vîi måi (u; v)2 = f(u; v) :u+ v > 0ho°c u = v= 0 ho°c u+ v 4gThªt vªy, gi£ sû fl  h m sè thäa m¢n i·u ki»n (1). Ta ành ngh¾a h m sè f (x; y )bði: f (x; y ) =f(x) + f(y ) f(xy )D¹ th§y r¬ng h m f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m: f (xy; z ) +f (x; y ) =f (x; yz ) +f (y; z )(1) M°t kh¡c ta câ f (x; y ) =f(x +y xy )(2) Thay (2) v o (1) ta ÷ñc: f xy +1 y x + f(x +y xy ) = f(1) + f y + 1 y 1 , vîi måi x; y6= 0 °t xy+1 y x= u+ 1 v  x+ y xy =v+ 1 (3) ta nhªn ÷ñc: f(u + 1) + f(v + 1) = f(1) + f(u +v+ 1), vîi måi u; vthäa m¢n i·u ki»n tr¶n. B¬ng vi»c cëng hai ¯ng thùc cõa (3) ta câ y+ 1 y = u+ v+ 2 , º câ nghi»m y6= 0 ch¿ trong tr÷íng hñp D=f(u +v+ 2) 2 4 = ( u+ v)(u +v+ 4) 0g. i·u ki»n n y x£y ra khi v  ch¿ khi ho°c l  u+ v > 0ho°c u+ v= 0 ho°c u+ v+ 4 0. B¬ng vi»c kiºm tra i·u ki»n ta th§y b i to¡n ÷ñc thäa. N¸u fl  mët nghi»m cõa b i to¡n th¼ fph£i câ d¤ng f(x) = F(x 1) + f(1)(1) vîi måi x, trong â Fthäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy F(x +y) = F(x) + F(y )vîi måi x; y. Chùng minh Theo chùng minh tr¶n, th¼ fcâ d¤ng vîi Fthäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Cauchy vîi måi (u; v)2 . Ta s³ chùng minh r¬ng Fthäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Cauchy vîi måi (u; v)b§t ký. Gi£ sû , khi â tçn t¤i mët sè thüc sao cho c¡c iºm (x; u);(x+u; v );(x; u +v) n¬m trong vîi vi»c x¡c ành xl : cè ành (u; v )2 th¼ tø c¡c b§t ¯ng thùc x+ u > 0; x+u+ v > 0ta t¼m ÷ñc i·u ki»n cõa x. Nh÷ng khi â: F (u) = F(x +u) F(x) F (v ) = F(x +u+ v) F(x +u) F (u +v) = F(x +u+ v) F(x) Suy ra tø c¡c ph÷ìng tr¼nh n y ta câ F(u) + F(v ) = F(u +v). V  b i to¡n ÷ñc chùng minh. B i to¡n 14(VMO 1992 b£ng B). Cho h m sè f:R ! Rthäa m¢n f(x + 2xy ) =f(x) + 2 f(xy ), 8 x; y 2R. Bi¸t f(1991) = a, h¢y t½nh f(1992) Gi£i Thay x= 0 ta ÷ñc f(0) = 0 . Thay y= 1 ta nhªn ÷ñc f(x) = f(x). Thay y= 1 2 ta ÷ñc f(x) = 2 f€ x 2 Š . X²t x6= 0 v  sè thüc tb§t ký, °t y = t 2x ta nhªn ÷ñc: f(x +t) = f(x) + 2 f€ t 2 Š = f(x) + f(t) Vªy fl  h m Cauchy n¶n f(x) = kx, vîi kl  h¬ng sè n o â. Tø f(1991) = a) k:1991 = a) k= a 1991 . Do â f(1992) = 1992 1991 a B i to¡n 15. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f(x) x¡c ành tr¶n (0;+1), câ ¤o h m t¤i x= 1 v  thäa m¢n i·u ki»n f (xy ) = p xf (y) + p yf (x); 8x; y 2R+ Gi£i X²t c¡c h m sè sau g(x) = f (x) p x . Tø gi£ thi¸t cõa b i to¡n ta câ: p xy:g (xy) = p xy:g (x) + p xy:g (y), g(xy ) = g(x) + g(y ); 8x; y 2R+ Vªy g(x) = log ax; x > 0. GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 2 PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY Tø â ta câ k¸t qu£ h m sè f(x) = k:p x:log ax vîi k2 R. L¤i tø (1) n¸u ta °t z= x+ yth¼ y= z x v  quan h» (1) trð th nh f(z ) = f(x):f (zx), n¸u vîi gi£ thi¸t f(x) 6= 0 8x 2 R th¼ ta câ thº vi¸t l¤i nh÷ sau: f(z x) = f (z ) f (x) , v  ta · xu§t ÷ñc b i to¡n sau ¥y: B i to¡n 18. X¡c ành c¡c h m sè f(x) li¶n töc tr¶n Rthäa m¢n i·u ki»n: 8 > < > : f (x y) = f (x) f (y ); 8x; y 2R f (x) 6= 0 8x 2 R (2) V¼ gi£ thi¸t l  f(x) 6= 0 8x2R n¶n ch¿ câ h m sè f(x) = ax (a > 0)thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. To be continued . GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 3 PH×ÌNG PHP QUY N„P 3 Ph÷ìng ph¡p quy n¤p Ph÷ìng ph¡p n y y¶u c¦u ta tr÷îc h¸t t½nh f(0); f (1)rçi düa v o â t½nh f(n )vîi n2 N. Sau â t½nh f(n) vîin2 Z. T½nh ti¸p f€ 1 n Š , tø â suy ra biºu thùc cõa f(r )vîi r2 Q. Ph÷ìng ph¡p n y th÷íng sû döng khi c¦n t¼m h m sè x¡c ành tr¶n N;Z;Q. V½ dö 3.1. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:Q ! Qthäa m¢n i·u ki»n: f (1) = 2; f (xy) = f(x)f (y) f(x +y) + 1 ;8x; y 2Q: (11) Gi£i Cho y= 1 v  sû döng gi£ thi¸t f(1) = 2 ta ÷ñc f (x + 1) = f(x) + 1 ;8 x 2 Q: (12) B¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p ta chùng minh ÷ñc f(x +m) = f(x) + m;8x 2Q; 8m 2N: (13) Ti¸p theo ta s³ l¦n l÷ñt chùng minh: a) f(n) = n+ 1 ;8n 2N. Thªt vªy trong (12) cho x= 0 ta t¼m ÷ñc f(0) = 1 . Gi£ sû ta ¢ câ f (k ) = k+ 1 th¼ f(k + 1) = f(k ) + 1 = k+ 1 + 1 = k+ 2 : b) Ti¸p theo ta chùng minh f(m ) = m+ 1 ;8 m 2Z. Thªt vªy, trong (12) cho x= 1 ta ÷ñc f(1) = 0. Trong (11) cho y= 1 th¼ ta câ f(x) = f(x1) + 1; 8x2Q: Khi â vîi m2Z; m < 0th¼ °t n= m , khi â n2 N n¶n sû döng k¸t qu£ tr¶n v  ph¦n (a) ta ÷ñc f(m) = f(n ) =f(n1) + 1 = n+ 1 = m+ 1 : c) Ti¸p theo ta chùng minh f(x) = x+ 1 ;8 x 2 Q. Tr÷îc ti¶n ta t½nh f 1 n ; n 2N+ , b¬ng c¡ch trong (11) cho x= n; y =1 n ta câ 2 = (n+ 1)f 1 n f n + 1 n + 1 : L¤i theo (13) th¼ f n + 1 n = f 1 n + n thay v o ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta ÷ñc f 1 n = n + 1 n = 1 n + 1 : GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 3 PH×ÌNG PHP QUY N„P Tø ¥y th¼ vîi x2 Q th¼ xluæn ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng x= m n ; m 2Z; n 2N+ , do â f (x) = f m n ‹ = f m: 1 n = f(m ):f 1 n f m + 1 n + 1 = ( m+ 1): 1 n + 1 f 1 n m + 1 = ( m+ 1) 1 n + 1 1 n 1 m + 1 = m n + 1 = x+ 1 Thû l¤i th§y h m sè f(x) = x+ 1 ;8x 2Q thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Nhªn x²t: B i to¡n tr¶n k¸t qu£ khæng thay êi n¸u ta l m tr¶n tªp Rv  khæng c¦n cho tr÷îc f (1). Vi»c cho tr÷îc f(1) gióp qu¡ tr¼nh quy n¤p thuªn lñi hìn. Tø líi gi£i tr¶n ch¿ c¦n sû lþ tr¶n tªp sè væ t¿. Tham kh£o th¶m v· b i n y trong b i 8.11. V½ dö 3.2. T¼m t§t c£ c¡c h m sè li¶n töc f:R ! Rthäa m¢n f (x +y) + f(x y) = 2 ( f(x) + f(y )) ;8 x; y 2R: Gi£i a) f(0) = 0, thªt vªy ch¿ c¦n thay x= y= 0 ta câ ÷ñc k¸t qu£. b) fl  h m ch®n. êi vai trá giúa x; ytrong i·u ki»n ta câ f (x +y) + f(y x) = 2 ( f(x) + f(y )) ;8x; y 2R: V  nh÷ vªy th¼ f(x y) = f(y x); 8x; y 2R: Do â fl  h m ch®n n¶n ta ch¿ c¦n l m vi»c tr¶n R+ . c) f(nx) = n2 f (x); 8n2N; 8x 2 R+ . Thªt vªy, cho x= yta ÷ñc f (2x) = 4 f(x); 8x2R+ : Gi£ sû ta ¢ câ f(nx) = n2 f (x); 8n2N; 8x 2R+ . Khi â thay y= nx ta ÷ñc f ((n + 1)x) + f((n 1)x) = 2 ( f(x) + f(nx)) ; hay f((n + 1)x) = 2 € f (x) + n2 f (x) Š (n 1)2 f (x) = ( n+ 1) 2 f (x): d) f(qx) = q2 f (x); 8x2R+ ;8q 2Q+ . Thªt vªy tø (c) th¼ f (x) = 1 n 2f (nx) !f x n ‹ = 1 n 2f (x); 8n2N; 8x 2R+ : Vîi q2 Q+ th¼ q= m n vîi m; n 2N; n 6= 0n¶n f (qx) = f m: x n ‹ = m2 f x n ‹ = m 2 n 2 f (x) = q2 f (x): GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 3 PH×ÌNG PHP QUY N„P e) Do fli¶n töc tr¶n R+ n¶n f(x) = ax2 ; 8x 2R+ (vîi a= f(1)). Thû l¤i th§y h m sè f(x) = ax2 ; 8 x 2 R thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Nhªn x²t: Quan h» b i to¡n tr¶n ch½nh l  ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh quen thuëc. â l  n¸u ! u ; ! v l  hai vector th¼ ta câ j! u +! v j2 + j! u ! v j2 = 2 j! u j2 + j! v j2 B£n ch§t cõa líi gi£i l  chùng minh n¸u h m fli¶n töc v  thäa m¢n h¬ng ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh th¼ b­t buëc ph£i câ d¤ng f(x) = f(1)x 2 . Công c¦n l÷u þ l  i·u ki»n li¶n töc câ thº thay b¬ng i·u ki»n ìn i»u cõa h m sè. V½ dö 3.3. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f: [0 ;1) !Rsao cho fìn i»u v  thäa m¢n i·u ki»n (f (x) + f(y ))2 = f€ x 2 y2Š + f(2xy );8x y 0: Gi£i Cho x= y= 0 ta ÷ñc f(0) = 0 ho°cf(0) = 1 2 . a) Tr÷íng hñp f(0) = 1 2 , th¼ thay x= 1 ; y= 0 ta l¤i ÷ñc f(1) = 1 2 ho°c f(1) = 1 2 . (i) N¸u f(1) = 1 2 th¼ thay x= y= 1 ta ÷ñc f(2) = 1 2 . Khi â ta th§y f(0) > f (1); f (1)< f (2), m¥u thu¨n vîi t½nh ch§t ìn i»u cõa h m sè. (ii) Vªy f(1) = 1 2 . Khi â thay x= yta ÷ñc 4 ( f(x)) 2 = f€ 2x 2Š + 1 2 : X²t d¢y sè x 1 = 1 ; x n+1 = 2 x2 n , thay v o quan h» tr¶n ta ÷ñc 4 (f(x n)) 2 = f(x n+1 ) + 1 2 : B¬ng quy n¤p ta ÷ñc f(x n) = 1 2 vîi måi n2 Z+ . V¼ x n ! 1 v fìn i»u n¶n suy ra f (x) = 1 2 vîi måi x 0. b) Tr÷íng hñp f(0) = 0. Khi â thay y= 0 ta ÷ñc f € x 2Š = ( f(x)) 2 ;8x 0! f(x) 0;8x 0: Ngo i ra thay x= yta ÷ñc 4 (f(x)) 2 = f(2x 2 ). K¸t hñp vîi ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc 4f (x) = f(2x); 8x0: Trong ph÷ìng tr¼nh h m ban ¦u, °t x= u+ v; y =u vth¼ ta ÷ñc [f (u +v) f(u v)] 2 = f(4uv ) +f€ 2(u 2 v2 )Š = 4 ” f (2uv ) +f(u 2 v2 )— = 4 ( f(u) + f(v ))2 : GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 3 PH×ÌNG PHP QUY N„P Tø ¥y l§y c«n bªc hai ta ÷ñc f(u +v) + f(u v) = 2 ( f(u) + f(v )) ;8u v 0: Ph÷ìng tr¼nh h m n y câ nghi»m l  f(x) = f(1)x 2 ; 8 x 0:Ngo i ra d¹ d ng t½nh ÷ñc f(1) = 0 ho°c f(1) = 1. K¸t luªn: C¡c h m sè thäa m¢n l  f(x) 0; f (x) 1 2 v  f(x) = x2 ; 8x 0. Nhªn x²t: B i to¡n tr¶n xu§t ph¡t tø mët h¬ng ¯ng thùc quen thuëc l  (x2 + y2 )2 = ( x2 y2 )2 + (2xy )2 : V  iºm m§u chèt cõa b i to¡n l  t½nh ch§t f(x 2 ) = (f (x))2 , º suy ra f(x) 0khi x 0. V½ dö 3.4. (China 1996) Cho h m sèf:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n: f (x 3 + y3 ) = ( x+ y)(f 2 (x) f(x)f (y) + f2 (y )); 8x; y 2R: Chùng minh r¬ng f(1996x) = 1996f (x);8x 2 R. Gi£i a) T½nh f(0) v  thi¸t lªp cho f(x). Cho x= y= 0 ta ÷ñc f(0) = 0. Cho y= 0 ta ÷ñc f (x 3 ) = xf2 (x): Nhªn x²t: f(x) v xluæn còng d§u. Tø ¥y ta câ f(x) = x1 3 f 2 (x 1 3 ): b) Thi¸t lªp tªp hñp t§t c£ c¡c gi¡ trà am  f(ax) = af(x). °t S= fa > 0 :f(ax) = af(x); 8x2Rg. Rã r ng 12 S. Ta chùng tä n¸u a2 S th¼ a1 3 2 S. Thªt vªy axf 2 (x) = af(x3 ) = f(ax 3 ) = f (a 1 3 x) 3 = a1 3 x:f 2 (a 1 3 x) ) a2 3 f 2 (x) = f2 (a 1 3 x) ) a1 3 f (x) = f(a 1 3 x) N¸u a; b2S th¼ a+ b2 S. Thªt vªy f ((a +b)x) = f (a 1 3 x 1 3 )3 + (b 1 3 x 1 3 )3 = ( a1 3 + b1 3 ) h f 2 (a 1 3 x 1 3 ) f(a 1 3 x 1 3 ):f (b1 3 x 1 3 ) + f2 (b 1 3 x 1 3 )i = ( a1 3 + b1 3 ) h a 2 3 a1 3 b 1 3 + b2 3 i x 1 3 f 2 (x 1 3 ) = ( a+ b)f (x): B¬ng quy n¤p ta chùng tä måi n2 N ·u thuëc S. V  b i to¡n ra l  tr÷íng hñp °c bi»t vîi n= 1996. GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 3 PH×ÌNG PHP QUY N„P Nhªn x²t: 1. N¸u ch¿ ìn thu¦n chùng minh k¸t qu£ cõa b i to¡n th¼ câ thº quy n¤p trüc ti¸p. B¬ng c¡ch kh£o s¡t nh÷ tr¶n ta s³ th§y h¸t ÷ñc t§t c£ c¡c gi¡ trà cõa a >0m  f(ax) = af(x). 2. Do y¶u c¦u °c bi»t cõa b i to¡n, n¶n tü nhi¶n ta s³ ngh¾ ngay l  câ thº chùng minh i·u â óng vîi måi sè tü nhi¶n, v  qua â, s³ ngh¾ ngay ¸n h÷îng quy n¤p. 3. Vi»c suy ra d§u cõa f(x) còng d§u vîi xl  quan trång, nâ gióp ta tri»t ti¶u b¼nh ph÷ìng m  khæng c¦n x²t d§u, ¥y công l  mët i·u ¡ng l÷u þ trong r§t nhi·u b i tªp kh¡c. 4. B i to¡n tr¶n r§t câ thº xu§t ph¡t tø h¬ng ¯ng thùc x3 + y3 = ( x+ y) ( x2 xy +y2 ). V½ dö 3.5. T¼m t§t c£ c¡c h m f:Z ! Zthäa m¢n: f (x 3 + y3 + z3 ) = f3 (x) + f3 (y ) + f3 (z );8x; y; z 2Z Hint: 1. T½nh f(0) v  chùng minh fl  h m l´. 2. Chùng tä f(2) = 2 f(1); f (3) = 3 f(1). Chùng minh b¬ng quy n¤p f(n ) = nf(1); 8n2Z 3. Trong chùng minh chuyºn tø n= k 0sang n= k+ 1 , ta sû döng h¬ng ¯ng thùc sau: N¸u kch®n th¼ k= 2 t, ta câ: (2t+ 1) 3 + 5 3 + 1 3 = (2t 1)3 + (t + 4)3 + (4 t)3 khi k= 2 t v  n¸u kl´ th¼ k= 2 t 1khi â n= 2 tluæn ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng 2t= 2 j (2i + 1), v  ¯ng thùc tr¶n ch¿ c¦n nh¥n cho 23j V½ dö 3.6. T¼m t§t c£ c¡c h m f:N ! Nthäa m¢n c¡c i·u ki»n: f (1) >0v  f(m 2 + n2 ) = f2 (m ) + f2 (n );8m; n 2N Hint: 1. T½nh f(0) )f(m 2 + n2 ) = f(m 2 ) + f(n 2 ) 2. Chùng minh f(n ) = n;8n 10. Vîi n >10ta sû döng c¡c ¯ng thùc sau: (5k + 1) 2 + 2 2 = (4k + 2)2 + (3k 1)2 (5k + 2) 2 + 1 2 = (4k + 1)2 + (3k + 2)2 (5k + 3) 2 + 1 2 = (4k + 3)2 + (3k + 1)2 (5k + 4) 2 + 2 2 = (4k + 2)2 + (3k + 4)2 (5k + 5) 2 = (4k + 4)2 + (3k + 3)2 GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 4 KHAI THC TNH CH‡T ÌN NH, TO€N NH, SONG NH, CHŽN L” CÕA H€M SÈ 4 Khai th¡c t½nh ch§t ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh, ch®n l´ cõa h m sè Tr÷îc ti¶n ta nh­c l¤i c¡c kh¡i ni»m cì b£n n y. a) N¸u f:R ! Rl  ìn ¡nh th¼ tø f(x) = f(y )ta suy ra ÷ñc x= y. b) N¸u f:R ! Rl  to n ¡nh th¼ vîi méi y2 R, tçn t¤i x2 R º f(x) = y. c) N¸u f:R ! Rl  song ¡nh th¼ ta câ c£ hai °c tr÷ng tr¶n. N¸u mët h m sè m  ìn ¡nh chóng ta r§t hay dòng thõ thuªt t¡c ëng fv o c£ hai v¸, n¸u mët h m f to n ¡nh ta hay dòng: Tçn t¤i mët sè bsao cho f(b) = 0 , sau â t¼m b. N¸u quan h» h m l  h m bªc nh§t cõa bi¸n ð v¸ ph£i th¼ câ thº ngh¾ tîi hai quan h» n y. V½ dö 4.1. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:Q ! Qthäa m¢n f (f (x) + y) = x+ f(y );8x; y 2Q: Gi£i Nhªn x²t, h m çng nh§t 0 khæng thäa m¢n b i to¡n. X²t f(x) 60. a) fìn ¡nh, thªt vªy, n¸u f(x 1) = f(x 2) th¼ f (f (x 2) + y) = f(f (x 2) + y) ! x 1 + f(y ) = x 2 + f(y )! x 1 = x 2: b) fto n ¡nh, thªt vªy, v¼ tçn t¤i y 0 sao cho f(y 0) 6= 0 . Do â v¸ ph£i cõa i·u ki»n l  mët h m sè bªc nh§t cõa xn¶n câ tªp gi¡ trà l  Q. c) T½nh f(0), cho x= y= 0 v  sû döng t½nh ìn ¡nh ta ÷ñc f(f (0)) = f(0) !f(0) = 0: Tø â thay y= 0 ta ÷ñc f(f (x)) = x;8x 2 Q: d) Thay xbði f(x) v  sû döng k¸t qu£ tr¶n( v  i·u n y óng cho vîi måi x2 Q v¼ fl  to¡n ¡nh) th¼ f (x +y) = f(x) + f(y );8x; y 2Q: Tø ¥y ta ÷ñc f(x) = axthay v o b i to¡n ta nhªn f(x) xho°c f(x) xtr¶n Q. Nhªn x²t: N¸u y¶u c¦u b i to¡n tr¶n tªp Rth¼ c¦n th¶m t½nh ch§t ìn i»u ho°c li¶n töc. Cö thº, c¡c b¤n câ thº gi£i l¤i b i to¡n sau ( THTT, 2010): T¼m t§t c£ c¡c h m sè li¶n töc f:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n f(x +f(y )) = 2 y+ f(x); 8x; y 2R: V½ dö 4.2. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n f (xf (y) + x) = xy+f(x); 8x; y 2R: GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 4 KHAI THC TNH CH‡T ÌN NH, TO€N NH, SONG NH, CHŽN L” CÕA H€M SÈ Gi£i Thay x= 1 v o i·u ki»n h m ta ÷ñc f(f (y) + 1) = y+ f(1); 8y 2 R: Tø ¥y suy ra fl  mët song ¡nh. L§y x= 1 ; y= 0 ta ÷ñc f (f (0) + 1) = f(1) !f(0) = 0 dofìn ¡nh : B¥y gií vîi x6= 0 , °t y= f (x) x thay v o i·u ki»n h m ta ÷ñc f (xf (y) + x= 0 = f(0)) !xf(y) = xdo fìn ¡nh ; hay f(y ) = 1, tùc l  f‚ f (x) x Œ = f(y ) = 1 = f(b); vîi bl  mët sè thüc n o â(do fl  mët to n ¡nh). Vªy f(x) = bx;8x 6= 0. K¸t hñp vîi f(0) = 0 th¼ vi¸t gëp th nh f(x) = bx;8x2R. Thay v o i·u ki»n h m sè ta câ ÷ñc hai h m thäa m¢n l  f (x) xv  f(x) x. Nhªn x²t: B i to¡n n y câ thº gi£i b¬ng c¡ch th¸ bi¸n nh÷ sau m  khæng c¦n dòng ¸n t½nh song ¡nh cõa h m sè. Thay x= 1 ta ÷ñc f(f (y) + 1) = y+ f(1); 8y 2 R: V½ dö 4.3. (· nghà IMO 1988) X¡c ành h m sèf:N ! Nthäa m¢n i·u ki»n sau: f (f (n) + f(m )) = m+n; 8m; n 2N: (14) Gi£i a) Tr÷îc ti¶n ta kiºm tra fìn ¡nh. Thªt vªy gi£ sû f(n) = f(m), khi â f (2f (n)) = f(f (n) + f(n )) = 2 n; v  f(2f (n)) = f(f (m) + f(m )) = 2 m: Do â m=n, n¶n fìn ¡nh. b) Ta t½nh f(f (n)) theo c¡c b÷îc sau: cho m=n= 0 trong (14) th¼ ta ÷ñc f(2f (0)) = 0 , l¤i cho m = 2 f(0) v o trong (14) th¼ ta ÷ñc f(f (n)) = n+ 2 f(0): GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 4 KHAI THC TNH CH‡T ÌN NH, TO€N NH, SONG NH, CHŽN L” CÕA H€M SÈ c) T¡c ëng fv o c£ hai v¸ cõa (14) v  sû döng k¸t qu£ tr¶n, ta ÷ñc f(f (f(n) + f(m ))) = f(n) + f(m ) + 2 f(0): Ngo i ra theo quan h» · b i th¼ f(f (f(n) + f(m ))) = f(n +m): Tø ¥y ta câ f(n +m) = f(n ) + f(m ) + 2 f(0): Cho m=n= 0 th¼f(0) = 0 , do â quan h» tr¶n trð th nh h m cëng t½nh. Vªy f(n) = an. Thay v o quan h» b i to¡n ta ÷ñc f(n ) = n;8n 2 N: - Nhªn x²t : Quan h» ìn ¡nh cõa b i to¡n n y khæng c¦n thi¸t trong líi gi£i. V  b i to¡n n y câ thº chùng minh b¬ng quy n¤p tr¶n N. C¡ch 2 . N¸u x²t tr¶n Z+ th¼ ta câ thº chùng minh b¬ng quy n¤p f(x) = x;8x 2N. Tùc l , dòng ph÷ìng ph¡p, ta chùng minh khæng cán tçn t¤i h m sè n o kh¡c. Tr÷îc ti¶n ta t½nh f(1). Gi£ sû f (1) = t >1, °t s= f(t 1) >0. Nhªn th§y r¬ng n¸u f(m ) = nth¼ f (2n) = f(f (m ) + f(m )) = 2 m: Nh÷ vªy f(2t) = 2 ; f(2s) = 2 t 2: Nh÷ng khi â th¼ 2s+ 2 t= f(f (2s) + f(2t)) = f(2t) = 2 !t < 1; i·u n y væ lþ. Vªy f(1) = 1. Gi£ sû ta câ f(n) = nth¼ f (n + 1) = f(f (n) + f(1)) = n+ 1 : Vªy f(n ) = n;8n 2Z+ : V½ dö 4.4. (Balkan 2000) T¼m t§t c£ c¡c h m sèf:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n: f (xf (x) + f(y )) = ( f(x)) 2 + y;8x; y 2R: (15) Gi£i a) Ta t½nh f(f (y)) b¬ng c¡ch cho x= 0 v o (15) ta ÷ñc f (f (y)) = ( f(0)) 2 + y;8y 2 R: b) Chùng tä fìn ¡nh. Thªt vªy n¸u f(y 1) = f(y 2) th¼ f(f (y 1)) = f(f (y 2)). Tø ¥y theo ph¦n (a) th¼ f 2 (0) + y 1 = ( f(0)) 2 + y 2 ) y 1 = y 2: c) Chùng tä fto n ¡nh v¼ v¸ ph£i cõa (15) l  mët h m bªc nh§t cõa yn¶n câ tªp gi¡ trà b¬ng R. K¸t hñp hai i·u tr¶n ta thu ÷ñc fl  mët song ¡nh tø Rv o R. GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 4 KHAI THC TNH CH‡T ÌN NH, TO€N NH, SONG NH, CHŽN L” CÕA H€M SÈ d) T½nh f(0). Düa v o t½nh to n ¡nh th¼ ph£i tçn t¤i a2 R º f(a) = 0 . Thay x= y= av o (15) ta ÷ñc f(af (a) + f(a)) = ( f(a)) 2 + a) f(0) = a: Do fl  mët song ¡nh n¶n a= 0 , tùc f(0) = 0. Tø ¥y theo (a) th¼ f (f (x)) = x;8x 2R: Trong (15) cho y= 0 ta ÷ñc f(xf (x)) = ( f(x)) 2 ;8x 2R: (16) Trong quan h» tr¶n, thay xbði f(x) ta ÷ñc( thay ÷ñc óng vîi måi x2 R v¼ fl  song ¡nh ) f (f (x):f (f(x))) = [f (f(x))] 2 ;8x 2R , f(f (x) x) = x2 ; 8 x 2 R , (f(x)) 2 = x2 ; 8 x 2 R: Tø ¥y suy ra vîi méi x2 R th¼ ho°c l  f(x) = xho°c l  f(x) = x. Chóng ta chùng tä l  ph£i câ sü çng nh§t f(x) = x;8x 2R ho°c l  f(x) = x;8x2R chù khæng thº x£y ra sü an xen giúa hai gi¡ trà. Thªt vªy, gi£ sû tçn t¤i a6= 0 ; n6= 0 sao cho f(a) = a; f(b) = bth¼ khi â trong quan h» (15) thay x = a; y =bta ÷ñc f€ a 2 + bŠ = a2 + b: Nh÷ng v¼ gi¡ trà cõa f(a 2 + b) ch¿ câ thº l  a2 + bho°c l  a2 b. Nh÷ng nhªn th§y a2 + bkhæng thº b¬ng vîi mët gi¡ trà n o trong hai gi¡ trà tr¶n. Vªy i·u gi£ sû l  sai. Kiºm tra l¤i th§y hai h m sè f(x) = x;8x 2R ho°c l  f(x) = x;8x 2 R thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. V½ dö 4.5. (IMO 1992) T¼m t§t c£ c¡c h m sèf:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n f € x 2 + f(y )Š = ( f(x)) 2 + y;8x; y 2R: (17) Gi£i a) fìn ¡nh, thªt vªy n¸u f(y 1) = f(y 2) th¼ f € x 2 + f(y 1)Š = f€ x 2 + f(y 2)Š ! (f(x)) 2 + y 1 = ( f(x)) 2 + y 2 ! y 1 = y 2: b) fto n ¡nh, v¼ v¸ tr¡i l m h m bªc nh§t theo yn¶n fcâ tªp gi¡ trà l  to n bë R. K¸t hñp hai i·u tr¶n suy ra fl  mët song ¡nh. c) T½nh f(0). Do fsong ¡nh n¶n tçn t¤i duy nh§t a2 R sao cho f(a) = 0 :Thay x= 0 ta ÷ñc f (f (y)) = (f (0))2 + y: Thay x= y= av o (17) v  sû döng k¸t qu£ tr¶n, ta ÷ñc f€ a 2Š = a !f (a) = f€ f € a 2ŠŠ !0 = ( f(0)) 2 + a2 !f (0) = a= 0 : GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 4 KHAI THC TNH CH‡T ÌN NH, TO€N NH, SONG NH, CHŽN L” CÕA H€M SÈ Tø ¥y ta thu ÷ñc quan h» quen thuëc f(f (x)) = x;8x 2R v  f€ x 2Š = ( f(x)) 2 (thay y= 0): Tø ¥y th¼ n¸u x 0th¼ f(x) 0, ngo i ra f(x) = 0 khi v  ch¿ khi x= 0 . B¥y gií l§y x 0; y 2R th¼ f (x +y) = f €p x Š 2 + f(f (y)) = € f € p x ŠŠ 2 + f(y ) = f €p x Š 2 + f(y ); hay f(x +y) = f(x) + f(y );8x 0; y 2R: Thay y= x ta ÷ñc f(x) = f(x) hay fl  h m l´. Do â n¸u x <0th¼ f (x +y) = f((x y)) = f(x y) = f(x) f(y ) = f(x) + f(y );8y 2 R; 8x < 0: K¸t hñp hai i·u tr¶n ta thu ÷ñc quan h» cëng t½nh cõa h m f f (x +y) = f(x) + f(y );8x; y 2R: Ngo i ra sû döng t½nh ch§t f(x) = 0 khi v  ch¿ khi x= 0 ta cán câ th¶m fìn i»u t«ng. Thªt vªy, vîi x > y th¼x y > 0n¶n f(x y) > 0, do â f (x) = f((x y) + y) = f(x y) + f(y )> f (y): H m fcëng t½nh v  ìn i»u n¶n câ d¤ng f(x) = ax, thay v o ta ÷ñc a= 1 . Vªy f(x) = x;8x 2 R thäa m¢n b i to¡n. V½ dö 4.6. T¼m t§t c£ c¡c h m sè f:R ! Rthäa m¢n f (x +f(y )) = x+ f(y ) + xf(y);8x; y 2R: Gi£i Ta câ thº vi¸t l¤i quan h» h m d÷îi d¤ng f(x +f(y )) = ( f(y ) + 1) x+ f(y );8x; y 2R: (18) a) N¸u f(x) 1, d¹ d ng kiºm tra h m n y thäa m¢n. b) X²t f(x) khæng çng nh§t 1. Khi â ph£i tçn t¤i y 0 2 R º f(y 0) 6= 1. Khi â v¸ ph£i cõa (18) l  h m bªc nh§t cõa xn¶n câ tªp gi¡ trà l  R. i·u n y chùng tä fl  to n ¡nh. Cho x= 0 ta thu th¶m ÷ñc mët quan h» núa l  f(f (x)) = f(x); 8x2R: Khi â vîi måi x2 R, do fto n ¡nh n¶n s³ tçn t¤i y(phö thuëc v o x) sao chox= f(y ), khi â f (x) = f(f (y)) = f(y ) = x: Tuy nhi¶n, thay h m n y v o (18) th¼ khæng thäa m¢n. GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 4 KHAI THC TNH CH‡T ÌN NH, TO€N NH, SONG NH, CHŽN L” CÕA H€M SÈ K¸t lu¥n: H m sè thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n l  f(x) 1. V½ dö 4.7. (Vi»t Nam TST 2004) T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà cõaa, sao cho tçn t¤i duy nh§t mët h m sè f:R ! Rthäa m¢n i·u ki»n f€ x 2 + y+ f(y )Š = ( f(x)) 2 + ay; 8x; y 2R: (19) Gi£i Nhªn th§y n¸u a= 0 th¼ câ hai h m sè thäa m¢n l  f(x) 0v  f(x) 1. Do â ta x²t tr÷íng hñp a 6= 0 . a) H m fto n ¡nh. Thªt vªy do v¸ ph£i l  h m bªc nh§t cõa yn¶n câ tªp gi¡ trà l  R. Do âfto n ¡nh, khi â tçn t¤i b2 R sao cho f(b) = 0. b) f(x) = 0 khi v  ch¿ khi x= 0 . Thay y= bv o (19) ta ÷ñc f € x 2 + bŠ = ( f(x)) 2 + ab: (20) Tø ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta th§y f€ x 2 + bŠ = ( f(x)) 2 + ab: Do â ta ÷ñc (f(x)) 2 = ( f(x)) 2 hay jf(x)j =jf(x)j ;8 x 2 R. Tø i·u n y ta thu ÷ñc th¶m f (b) = 0 . L¤i thay y= b v o (19) ta ÷ñc f€ x 2 bŠ = ( f(x)) 2 ab: (21) Tø (20) v  (21) ta nhªn ÷ñc f€ x 2 + bŠ f€ x 2 bŠ = 2 ab;8x 2R: Thay x= 0 v o ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc 2ab=f(b) f(b) = 0 !b= 0 :Vªy f(x) = 0 $x= 0 . c) a= 2 . Trong (19) cho y= 0 th¼f(x 2 ) = (f (x))2 ;8x 2R. Tø ¥y cho x= 1 ta ÷ñc f(1) = (f (1)) 2 ! f(1) = 1(v¼ f(1) 6= 0 do ph¦n (b)). L¤i trong (19) cho y= 1 th¼ ÷ñc f € x 2 + 2 Š = ( f(x)) 2 + a= f€ x 2Š + a: Thay x= 0 v o ¯ng thùc tr¶n th¼ a= f(2). Do vªy a 2 = ( f(2)) 2 = f(2 2 ) = f(4) = f€ (p 2) 2 + 2 Š = f(2) + a= 2 a: Vªy a= 2 v¼a6= 0 . GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 4 KHAI THC TNH CH‡T ÌN NH, TO€N NH, SONG NH, CHŽN L” CÕA H€M SÈ B¥y gií ta gi£i ph÷ìng tr¼nh h m f€ x 2 + y+ f(y )Š = ( f(x)) 2 + 2 y;8x; y 2R: (22) Thay y= (f (x)) 2 2 v o (22) ta ÷ñc f x2 (f (x)) 2 2 ! + f (f (x)) 2 2 ! = 0 ;8 x 2 R: V¼ t½nh ch§t cõa fl  f(x) = 0 khi v  ch¿ khi x= 0 n¶n f (f (x)) 2 2 ! = x 2 + (f (x)) 2 2 ; 8x 2R: L¤i trong (22) v  sû döng k¸t qu£ tr¶n ta ÷ñc f€ x 2 y2Š = ( f(x)) 2 (f(y))2 = f(x 2 ) f(y 2 ); 8x; y 2R: Tø ¯ng thùc n y cho x= 0 th¼f(y 2 ) = f(y2 ) tùc fl  h m l´. N¶n quan h» tr¶n câ thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng f(x +y) = f(x) + f(y );8x; y 2R: L¤i sû döng (f(x)) 2 = f(x 2 ) th¼ (f(x +y)) 2 = f((x +y)2 ), khai triºn v  sû döng t½nh cëng t½nh ta ÷ñc f (xy ) = f(x)f (y);8x; y 2R: H m fvøa cëng t½nh, vøa nh¥n t½nh n¶n f(x) x. Thû l¤i th§y h m sè n y thäa m¢n · b i. Nhªn x²t: Mët ph¦n cõa b i to¡n tr¶n xu§t hi»n ¦u ti¶n tr¶n t¤p ch½ AMM, ÷ñc · xu§t bði Wu Wei Chao, v  ÷ñc chån l  mët b i to¡n chån ëi tuyºn Bungari n«m 2003 v  chån ëi tuyºn Iran 2007, trong â ch¿ gi£i quy¸t cho tr÷íng hñp a= 2 . V½ dö 4.8. (· nghà IMO 2002) T¼m t§t c£ c¡c h m sèf:R ! Rthäa m¢n f (f (x) + y) = 2 x+ f(f (y) x) ;8x; y 2R: Gi£i a) fto n ¡nh, thªt vªy thay y= f (x) ta ÷ñc f (f (f (x)) x) = f(0) 2x; 8x2R: Do v¸ ph£i l  h m bªc nh§t cõa xn¶n câ tªp gi¡ trà l  R. b) V¼ fto n ¡nh n¶n tçn t¤i asao cho f(a) = 0 . Thay x= av o · b i th¼ f (y ) a= f(f (y) a) + a: V¼ fto n ¡nh n¶n quan h» tr¶n câ thº vi¸t l¤i f(x) = x avîi al  h¬ng sè : GV: Tr¦n Minh Hi·n . . . . . . PTH bçi d÷ïng håc sinh giäi . . . . . . Tr÷íng THPT chuy¶n Quang Trung www.VNMATH.com 4 KHAI THC TNH CH‡T ÌN NH, TO€N NH, SONG NH, CHŽN L” CÕA H€M SÈ Thû l¤i th§y h m sè n y thäa m¢n. V½ dö 4.9. (THTT T8/360) . T¼m t§t c£ c¡c h m sèf:R + ! R+ thäa m¢n f (x):f (y) = f(x +yf (x)) ;8x; y 2R+ : (23) Gi£i Gi£ sû fl  h m sè thäa m¢n b i to¡n. a) N¸u f(x) 2(0; 1);8x 2R+ th¼ khi thay y= x 1 f(x) v o (23) ta ÷ñc f (x)f ‚ x 1 f(x) Œ = f‚ x 1 f(x) Œ ;8x 2R+ ; suy ra f(x) = 1 , tr¡i vîi gi£ thi¸t f(x) 2(0; 1). Vªy gi¡ trà cõa h m sè fluæn lîn hìn ho°c b¬ng 1. b) N¸u tçn t¤i gi¡ trà a2 R+ sao cho f(a) = 1 , th¼ khi â thay x= ata ÷ñc f (y +a) = f(y );8y 2R+ : Ngo i ra, ùng vîi méi x2 R+ cè ành v  h2 R+ cho tr÷îc, luæn tçn t¤i y2 R+ º yf(x) = h. Do â f (x +h) = f(x +yf (x)) = f(x)f (y) f(x): K¸t hñp hai i·u tr¶n b­t buëc ph£i câ f(x) 1. Kiºm tra l¤i th§y h m sè n y thäa m¢n. c) N¸u f(x) >1;8x 2R+ th¼ fìn ¡nh. Thªt vªy, khi â f (x +h) = f(x +yf (x)) = f(x)f (y)> f (x); 8x; h 2R+ : Chùng tä fl  h m çng bi¸n ng°t tr¶n R+ , do â nâ l  mët ìn ¡nh tr¶n R+ . êi vai trá cõa xv  y trong (23) ta câ f(y +xf (x)) = f(x +yf (x)) ;8x; y 2R+ : V¼ fìn ¡nh n¶n y+ xf (y) = x+ yf (x); 8x; y 2R+ : Tø ¥y ta câ f(x) x 1 x = f (y ) y 1 y ; 8x; y 2R+ ; hay f(x) x 1 x = a;8x 2R+ ! f(x) = ax+ 1 ; a > 0: Thû l¤i th§y hai h m sè f(x) 1ho°c f(x) = ax+ 1 ; a > 0;8x 2R+ thäa m