Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 10} \), trước hết, ta cần phân tích biểu thức trong mẫu số.

Biểu thức \( x^2 + 4x + 10 \) là một đa thức bậc hai. Ta sẽ tìm GTNN của nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm hoặc hoàn thành bình phương.

### Bước 1: Hoàn thành bình phương

Ta có:

\[
x^2 + 4x + 10 = (x^2 + 4x + 4) + 6 = (x + 2)^2 + 6
\]

Biểu thức \( (x + 2)^2 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0, vì vậy:

\[
(x + 2)^2 + 6 \geq 6
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( x^2 + 4x + 10 \) là 6, xảy ra khi \( (x + 2)^2 = 0 \), tức là \( x = -2 \).

### Bước 2: Tìm GTNN của \( f(x) \)

Bây giờ, ta biết rằng \( x^2 + 4x + 10 \geq 6 \), do đó:

\[
f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 10} \leq \frac{1}{6}
\]

Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) là \( \frac{1}{6} \), và giá trị này đạt được khi \( x = -2 \).

### Kết luận

- Giá trị nhỏ nhất của \( x^2 + 4x + 10 \) là 6.
- Giá trị lớn nhất của \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 10} \) là \( \frac{1}{6} \).

Do đó, \( f(x) \) có giá trị lớn nhất là \( \frac{1}{6} \).