Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB; CD; DA lần lượt lấy 1; 2; 3 và n điểm phân biệt n ≥ 3 khác A; B; C; D. Tìm n biết số tam giác lấy từ n + 6 điểm trên là 439:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chọn 3 điểm bất kì trong n + 6 điểm đã cho có Cn+63 cách

Trên cạnh CD chọn ra được 1 bộ ba điểm thẳng hàng.

Trên cạnh DA chọn được Cn3 bộ ba điểm thẳng hàng.

Vì mỗi tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng.

Nên số tam giác được tạo thành là Cn+63– Cn3 – 1 = 439

⇔ Cn+63 – Cn3  = 440⇔ (n+6)!3!(n+3)!-n!3!(n−3)!  = 440

⇔ (n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!6(n+3)!-n(n−1)(n−2)(n−3)!6(n−3)! = 440

⇔ (n+6)(n+5)(n+4)6-n(n−1)(n−2)6  = 440

⇔ (n + 6)(n + 5)(n + 4) – n(n – 1)(n – 2) = 2640

⇔ n³ + 15n² + 74n + 120 – (n³ – 3n² + 2n) = 2640

⇔18n² + 72n + 120 = 2640

⇔ n² + 4n – 140 = 0

⇔ n=10n=−14

Vậy n = 10.