Cho hàm số y = (x – m)³ – 3x + m² có đồ thị là (Cm) với m là tham số thực. Biết điểm M(a; b) là điểm cực đại của (Cm) ứng với một giá trị m thích hợp, đồng thời là điểm cực tiểu của (Cm) ứng với một giá trị khác của m. Tổng S = 2018a + 2020b bằng

Đáp án đúng là: A

Vì điểm M(a; b) thuộc đồ thị (Cm) nên ta có:

(a – m)³ – 3a + m² = b, \(\forall \)m ∈ ℝ (1)

Xét y’ = 3(x – m)² – 3; y’ = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m - 1\\x = m + 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

• Nếu m₁ là giá trị của tham số để đồ thị hàm số nhận điểm M(a; b) là điểm cực đại thì a = m₁ – 1.

• Nếu m₂ là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a; b) là điểm cực tiểu thì a = m₂ + 1

Do đó m₁ = a + 1; m₂ = a – 1.

Mà m₁, m₂ phải thỏa mãn (1) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 3a + {\left( {a + 1} \right)^2} = b\\1 - 3a + {\left( {a - 1} \right)^2} = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\).

Vậy S = 2018a + 2020b = 504.