Trong không gian Oxyz cho các điểm A1;1;1,B0;1;2,C−2;0;1 và mặt phẳng P:x−y+z+1=0. Gọi điểm N là điểm thuộc (P) sao cho S=2NA2+NB2+NC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài ON bằng

Chọn B.

Chọn điểm I sao cho 2IA→+IB→+IC→=0→.

Gọi I(a; b; c) suy ra:

IA→=1−a;1−b;1−c,IB→=−a;1−b;2−c,IC→=−2−a;−b;1−c.

Do đó: 2IA→+IB→+IC→=0→⇔21−a−a−2−a=021−b+1−b−b=021−c+2−c+1−c=0⇔a=0b=34c=54⇒I0;34;54.

Khi đó: S=2NA2+NB2+NC2=2NI→+IA→2+NI→+IB→2+NI→+IC→2

                                         =4NI2+IA2+IB2+IC2+2NI→2IA→+IB→+IC→

                                         =4NI2+IA2+IB2+IC2.

Do I cố định nên IA2+IB2+IC2 không đổi.

Do đó để Smin⇔NImin2⇔NImin⇔N là hình chiếu của I lên (P).

Gọi Δ là đường thẳng qua I và vuông góc với P⇒Δ:x=ty=34−tz=54+t.

Suy ra N=Δ∩P.

Xét phương trình 

⇒N−12;54;34⇒ON=384.