Cho hàm số f(x)=x³-3x+m+2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m<2018 sao cho với mọi bộ số thực a,b,c∈-1;3 thì f(a), f(b), f(c) là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.

Chọn A

Xét hàm số f (x) = x³-3x+m+2, ta có:

f'(x)=3x2-3 ⇒f'(x)=0 ⇔x=±1f(1)=m, f(-1)=m+6, f(3)=m+20Suy ra: min-1;3 f(x) =f(1)=m, max-1;3f(x)=f(3)=m+20

Vì f(a), f(b), f(c) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

f(x)>0, ∀x∈-1;3 ⇔min-1;3f(x)=m>0⇒0

Mặt khác, với mọi số thực a,b,c ∈-1;3 thì f(a), f(b), f(c), là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọnkhi và chỉ khi f(1), f(1), f(3) cũng là độ dài ba cạnh của tam giác nhọn

⇔f(1)+f(1)>f(3)f(1)2+f(1)2>f(3)2⇔2m>m+202m2>(m+20)2⇔m>20m<20-202  hoặc m>20+202⇔m>20+202⇒20+202

Mà m∈ℤ*⇒m=49,50....2017 nên ta có 2017-48 = 1969 giá trị nguyên dương của m