Xét \[x,y\] là hai số thực dương thỏa \[1 - \frac{1}{2}{\log _2}\left( {x - y + 2} \right) = {\log _2}\left( {\frac{y} + 1} \right).\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{x\left( {y + 1} \right) + 10}}{y}.\]

Đáp án B

Ta có \[1 = {\log _2}\sqrt {x - y + 2} + {\log _2}\frac{y} = {\log _2}\left( {\frac{y}.\sqrt {x - y + 2} } \right)\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{y}.\sqrt {x - y + 2} = 2 \Rightarrow \left( {x + y + 1} \right)\left( {\sqrt {x - y + 2} - 1} \right) = 2y - \left( {x + y + 1} \right)\\ \Rightarrow \left( {x + y + 1} \right).\frac{{\sqrt {x - y + 2} + 1}} + x - y + 1 = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0 \Rightarrow x = y - 1\\ \Rightarrow P = \frac{{\left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 10}}{y} = \frac{{{y^2} + 9}}{y} = y + \frac{9}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{9}{y}} = 6.\end{array}\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow y = 3;x = 2\].