Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số):x2+2m−2x−3m2−4m+8=0 có hai nghiệm x1,   x2 thỏa mãn điều kiện x1+x2−2x1x2−24≤0 . Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x12+x22+4x1x2−13x1+x2 . Tính : M+N

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1,  x2  thỏa mãn x1+x2−2x1x2−24≤0

 ⇔Δ'≥0x1+x2−2x1x2−24≤0⇔4m2−4≥06m2+6m−36≤0⇔m≥1m≤−1−3≤m≤2⇔−3≤m≤−11≤m≤2 (*)

(Theo định lí Viet ta có x1+x2=−2m−1,  x1x2=−3m2−4m+8 )

Vậy P=x12+x22+4x1x2−13x1+x2=x1+x22+2x1x2−13x1+x2=−2m2+2m−20

+ Bảng biến thiên của P với điều kiện (*)

Từ bảng biến thiên ta được: M=−20  khi  m=1 , N=−44  khi m=−3  . Suy ra M+N=−64 .