Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 2 và un=2un+1−1,∀n∈N* , có tính chất:

Trả lời:

un=2un+1−1⇒un+1=un+12

Ta có:

un=un−1+12

⇒un+1−un=un+12−un

=un+12−un−1+12

=12un−un−1

Tương tự ta có: ⇒un−un−1=12un−1−un−2

Tiếp tục như vậy ta được:

un−un−1=12un−1−un−2un−1−un−2=12un−2−un−3

….

u3−u2=12u2−u1

⇒un+1−unun−un−1un−1−un−2...u4−u3u3−u2

=12un−un−1.12un−1−un−2.12un−2−un−3...12u3−u2.12u2−u1

⇒un+1−un=12n−1.u2−u1

⇔un+1−un=12n−1.u2−u1

Ta có:

u1=2u2−1

⇒u2=32

⇒un+1−un=12n−1.32−2=−12n<0

⇒unlà dãy số giảm

un+1−un=−12n

⇔un+1=un−12n

Mà un=2un+1−1

⇒un=2un−12n−1

⇔un=2un−12n−1−1

⇔un=1+12n−1<1+1=2

⇒1

Do đó (u_n) là dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: B