Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: \[\overrightarrow {K{\rm{A}}} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \]; \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]; \[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {H{\rm{D}}} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \]. Tính độ dài các vectơ \[\overrightarrow {GH} \].

Đáp án đúng là C

Do \[\overrightarrow {K{\rm{A}}} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \] nên K là trung điểm của AC.

Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Do \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \] nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho \[\overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \].

Do \[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {H{\rm{D}}} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \] nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho \[\overrightarrow {DH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {DK} \].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

\[ \Rightarrow \] AC² = a² + a²

\[ \Rightarrow \] AC² = 2a²

\[ \Rightarrow \] AC = \[\sqrt 2 \]a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do K là trung điểm của AC nên AK = \[\frac{1}{2}\]AC = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\].

Do đó \[\left| {\overrightarrow {K{\rm{A}}} } \right| = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\].

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.

Do đó BD = \[\sqrt 2 \]a.

Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = \[\frac{1}{3}\]DK = \[\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\]BD = \[\frac{1}{6}\]BD = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{6}\].

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = \[\frac{1}{3}\]BK = \[\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\]BD = \[\frac{1}{6}\]BD = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{6}\].

Do đó HK + KG = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{6}\]+ \[\frac{{\sqrt 2 a}}{6}\] hay HG = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{3}\].

Do đó \[\left| {\overrightarrow {GH} } \right| = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\].