Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của \(m \in \left[ { - 4;4} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^3} + 2x} \right) + 3f\left( m \right)} \right|\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng 8?

Đặt \(t = {x^3} + 2x \Rightarrow t' = {x^2} + 2 >0,\forall x \Rightarrow t\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)

\(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t\left( { - 1} \right) \le t \le t\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 3 \le t \le 3\)

Suy ra \( - 6 \le f\left( t \right) \le 5\)

Như vậy khi đó

\(g\left( t \right) = \left| {f\left( t \right) + 3f\left( m \right)} \right|\)

\( \Rightarrow Max{\rm{ g}}\left( t \right) = Max\left\{ {\left| {5 + 3f\left( m \right)} \right|;\left| { - 6 + 3f\left( m \right)} \right|} \right\} = \frac{{\left| {5 + 3f\left( m \right) - 6 + 3f\left( m \right)} \right| + \left| {5 + 3f\left( m \right) + 6 - 3\left( m \right)} \right|}}{2}\)

\( = \frac{{\left| {6f\left( m \right) - 1} \right| + 11}}{2}\)

Đáp án A