Cho \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số f⁢(x)=1x-1 thỏa mãn \[F\left( 5 \right) = 2\] và \[F\left( 0 \right) = 1\]. Tính \[F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)\].

Phương pháp giải: Sử dụng công thức nguyên hàm \(\int {\frac{1}{u}du\, = \,\ln \left| u \right|\, + \,C} \), dựa dữ kiện đề bài  tìm được C, từ đó tính \(F\left( 2 \right)\, - \,F\left( 1 \right)\)

Giải chi tiết:

Ta có \[F(x) = \int {\frac{1}} dx = ln\left| {x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}ln(x - 1) + {C_1}\\ln(1 - x) + {C_2}\end{array} \right.\] \[\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\] \(\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < 1}\end{array}\)

+ Với \[F(5) = 2 \Rightarrow ln(5 - 1) + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2 - 2ln2 \Rightarrow F(x) = ln(x - 1) + 2 - 2ln2\] (khi \[x > 1)\]

+ Với \[F(0) = 1 \Rightarrow ln(1 - 0) + {C_2} = 1 \Leftrightarrow {C_2} = 1 \Rightarrow F(x) = ln(1 - x) + 1\] (khi \[x < 1)\]

Suy ra \[F(2) = ln(2 - 1) + 2 - 2ln2 = 2 - 2ln2\] ; \[F( - 1) = ln(1 + 1) + 1 = 1 + ln2\]

Nên \[F(2) - F( - 1) = 2 - 2ln2 - (1 + ln2) = 1 - 3ln2\].

Chọn  C.