Cho đa thức f(x) với hệ số thực và thỏa mãn 2fx+f1−x=x2,∀x∈ℝ. Biết tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị hàm số y = f(x) tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích của tam giác đó?

Ta có 2fx+f1−x=x2,∀x∈ℝ

⇒2f1−x+fx=1−x2,∀x∈ℝ

⇔fx+2f1−x=x2−2x+1,∀x∈ℝ

Ta có hệ:

2fx+f1−x=x2fx+2f1−x=x2−2x+1⇔4fx+2f1−x=2x2fx+2f1−x=x2−2x+1

⇒3fx=x2+2x−1⇔fx=13x2+2x−1⇒f1=23

⇒f'x=132x+2⇒f'1=43

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 1 là:

                                   y=43x−1+23⇔y=43x−23 d

Gọi A=d∩Ox. Cho y=0⇒43x−23=0⇔x=12⇒A12;0 và OA=12.

Gọi B=d∩Oy. Cho x=0⇒y=43.0−23=−23⇒B0;−23 và OB=23.

Vậy SΔOAB=12OA.OB=12.12.23=16.

Chọn A.