Cho phương trình \[\log _5^2\frac{x}{5} + (m + 1){\log _5}5x + 6m - 22 = 0\] (\[m\] là tham số thực ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in \left[ { - 2020\,;\,2020} \right]\] để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực thuộc đoạn \[\left[ {\frac{1}{5}\,;\,{5^5}} \right]\]?

Ta có \[\log _5^2\frac{x}{5} + (m + 1){\log _5}5x - 6m - 22 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\log _5^{}x - 1} \right)^2} + (m + 1)\left( {{{\log }_5}x + 1} \right) - 6m - 22 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \log _5^{^2}x + (m - 1){\log _5}x - 5m - 20 = 0\]

⇔log5x=5log5x=−m−4

⇔x=55∈15 ;55log5x=−m−4    1

Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực thuộc đoạn 15 ;55   khi và chỉ khi (1) không có nghiệm thuộc đoạn 15 ; 55  tức −m−4<−1−m−4≥5⇔m>−3m≤−9  .

Vì 3 nguyên và m∈−2020 ; 2020  nên có m∈ −2020  ; −2019 ; ... ; −9∪ −2  ; −1 ; ... ; 2020 .

Vậy có 2012+2023=4035  giá trị nguyên của  m thỏa mãn bài toán.

Chọn đáp án C