Xét tất cả các số phức z thỏa mãn |z−3i+4|=1. Giá trị nhỏ nhất của |z2+7−24i| nằm trong khoảng nào?

Đáp án đúng là: A

Ta có: 1=|z−3i+4|≥||z|−|3i−4||=|z|−5 

⇒−1 ≤ |z| − 5 ≤ 1

⇒ 4 ≤ |z| ≤ 6

Đặt z0=4−3i⇒|z0|=5, z02=7−24i 

I=z2+7−24i2=z2+z022 =(z2+z02)z¯2+z0¯2

=|z|4+|z0|4+z.z0¯+z0.z¯2−2|z.z0|2 

Mà (z+z0)(z¯+z0¯)=1 

⇒z.z0¯+z0.z¯=1−|z|2−|z0|2 

⇒I=|z|4+|z0|4+1−|z|2−|z0¯|22−2|z.z0|2  

=2|z|4−2|z|2+1201 

Hàm số y = 2t⁴ – 2t² + 1201 đồng biến trên [4; 6] nên I ⩾ 2.4⁴ – 2.4² + 1201 = 1681

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi |z|=4|z+4−3i|=1 

Do đó |z2+7−24i|≥41