Cho cặp số (x; y) để biểu thức\(P = {x^2} - 8x + {y^2} + 2y + 5\) có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng x + 2y bằng

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(P = {x^2} - 8x + {y^2} + 2y + 5\)

\( = \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) - 12\)

\( = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12\)

Vì \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R};\,\,{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{R}\)

Nên \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\,\,\forall x,\,\,y \in \mathbb{R}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 = 0}\\{y + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là −12 khi và chỉ khi x = 4; y = – 1.

Khi đó x + 2y = 4 + 2.( –1) = 2.