Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 4x + 2020\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

Chọn đáp án D

Ta có \(f'\left( x \right) = - {x^2} + 2mx - 4\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0,\) \(\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - {x^2} + 2mx - 4 \le 0,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le \frac{{{x^2} + 4}}{x} = g\left( x \right),\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có

\(g'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}};\) \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\)

Bảng biến thiên của hàm số: \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Từ BBT suy ra \(2m \le 4 \Leftrightarrow m \le 2\)

Do \(m\) nhận giá trị nguyên dương nên \(m \in \left\{ {\,1\,;\,2} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.