Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng xét dấu của \[f'\left( x \right)\] như sau: Bất phương trình \[f\left( x \right) < {e^{{x^2}}} + m\] đúng với mọi \[x \in \left( { - 1;0} \right)\] khi và chỉ khi

Đáp án A

Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^{{x^2}}},x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2x{e^x}\].

Với mọi \[x \in \left( { - 1;0} \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\\ - 2x{e^x} > 0\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow g\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( { - 1;0} \right)\].

Khi đó \[m > g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( 0 \right) \Leftrightarrow m \ge f\left( 0 \right) - 1\].