Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}} - \frac{{x.f\left( {\sqrt {{x^2} + 4} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\). Biết \(I = \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {f\left( x \right){\rm{d}}x = - a + a} \ln b\,\left( {a;b \in \mathbb{N}} \right)\). Khi đó \(P = 2a - {b^3}\) bằng:

Lời giải

Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {x - 4 + \frac{6}} \right)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_0^2 {f\left( {\sqrt {{x^2} + 4} } \right){\rm{d}}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} } \right)} \)

\( = \left[ {\frac{1}{2}{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 6\ln \left| {x + 1} \right|} \right]\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. - \int\limits_2^{2\sqrt 2 } {f\left( t \right){\rm{d}}t} \)

\[ \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_2^{2\sqrt 2 } {f\left( x \right){\rm{d}}x} } = - 6 + 6\ln 3 \Rightarrow \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 6 + 6\ln 3\].

Theo giả thiết \(I = \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {f\left( x \right){\rm{d}}x = - a + a} \ln b\,\left( {a;b \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow P = 2a - {b^3} = 2.6 - {3^3} = - 15\).

Kết luận \(P = 2a - {b^3} = - 15\).

Chọn đáp án B