Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ AC→ và BD→.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ACD vuông tại D: cosCAD^=ADAC.

Tam giác ABC vuông tại B: cosCAD^=ADAC.

Ta có AC→.BD→=AC→.AD→−AB→=AC→.AD→−AC→.AB→.

=AC.AD.cosCAD^−AC.AB.cosCAB^

=AC.AD.ADAC−AC.AB.ABAC

=AD2−AB2=1−2=−1.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = 2 và AC = BD.

Tam giác ACD vuông tại D: AC2=AD2+CD2 (Định lý Pytago)

⇔AC2=12+22=3

⇒AC=3.

Do đó BD = AC = 3.

Lại có: AC→.BD→=AC.BD.cosAC→,  BD→

⇔−1=3.3.cosAC→,  BD→

⇔cosAC→,  BD→=−13.

⇒AC→,  BD→≈109°28'.

Vậy ta chọn đáp án C.