Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 8 , mặt bên SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((SAC)\) là \(\frac{{a\sqrt b }}{c}\) (phân số tối giản với \(c > 0)\). Tính \(a + {b^2} - {c^3}\).

Kẻ \(SH \bot AB \Rightarrow H\) là trung điểm của AB.

Do \((SAB) \bot (ABCD)\) và \((SAB) \cap (ABCD) = AB\) nên từ \(SH \bot AB\) ta được \(SH \bot (ABCD)\).

Mặt khác ta có \(B\dot A \cap (SAC) = \{ A\} \) và \(H\) là trung điểm của AB nên ta có \(d(B,(SAC)) = 2d(H,(SAC))\).

Trong \((ABCD)\) kẻ \(HK \bot AC\,\,(K \in AC)\) và trong \((SHK)\) kẻ \(HE \bot SK(E \in SK)\).

Ta có: \(SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot AC\). Kết hợp với \(HK \bot AC\) ta được \(AC \bot (SHK) \Rightarrow AC \bot HE\).

Hơn nữa \(HE \bot SK\) nên \(HE \bot (SAC)\).

Vậy \(d(H,(SAC)) = HE \Rightarrow d(B,(SAC)) = 2HE\).

Trong \((ABCD)\) ta có .

Mặt khác do \(\Delta SAB\) đều nên \(SH = \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 \). Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta SHK\) ta có

\(\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} \Rightarrow HE = \frac{{4\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow d(B,(SAC)) = \frac{{8\sqrt {21} }}{7}\). Suy ra \(a = 8,b = 21,c = 7\).

Vậy \(a + {b^2} - {c^3} = 106\).

 Chọn C