Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng của C qua D. Hãy tính độ dài MN→.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì M là trung điểm AB nên ta có AM = AB2=a2.

Tam giác MAD vuông tại A: DM2=AM2+AD2 (Định lý Pytago)

⇔DM2=a22+a2=5a24

⇒DM=a52.

Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.

Ta có NP // AD, mà AD ⊥ CN (vì ABCD là hình vuông)

Do đó NP ⊥ CN hay NP ⊥ ND.

Suy ra PND^=90°  (1).

Vì AD ⊥ ND nên ADN^=90°  (2).

Tương tự, AD ⊥ AP nên PAD^=90° (3).

Từ (1) (2) (3), ta suy ra tứ giác ADNP là hình chữ nhật (4).

Vì N là điểm đối xứng của C qua D nên ND = CD = a.

Mà AD = a (do ABCD là hình vuông cạnh a).

Nên ND = AD = a (5).

Từ (4) (5), ta suy ra ADNP là hình vuông.

Do đó AP = AD = a.

Ta có PM = PA + AM = a + a2=3a2.

Tam giác NPM vuông tại P: : MN2=NP2+PM2 (Định lý Pytago)

⇒MN=a132.

Suy ra MN→=MN=a132.

Vậy ta chọn đáp án C.