Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có AB = 1, AC = 2, BAC^=60∘. Điểm S thay đổi thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), (S khác A). Gọi B₁, C₁ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Đường kính MN thay đổi của mặt cầu (T) ngoại tiếp khối đa diện ABCB₁C₁ và I là điểm cách tâm mặt cầu (T) một khoảng bằng ba lần bán kính. Tính giá trị nhỏ nhất của IM + IN.

Chọn C

Ta có BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosA=3⇒BC=3.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: R=BC2sinA=1.

Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A' là điểm đối xứng của A qua J.

Ta dễ dàng chứng minh được: AC⊥A'C, AB⊥A'B, AB1⊥A'B1, AC1⊥A'C1⇒A, B, C, A1, B1 đều thuộc mặt cầu tâm J, đường kính AA'=2R=2=MN.

Đặt IM=x, IN=y; x,y∈2;4.

+ Nếu I, J, M, N thẳng hàng thì x=2,y=4x=4,y=2⇒x2+y2=20.

+ Nếu I, J, M, N không thẳng hàng thì

IJ2=x2+y22−MN24⇔x2+y2=2IJ2+MN24=29+1=20.

Vậy, ta luôn có: x2+y2=20.

Do x,y∈2;4⇒x−2y−2≥0⇔xy≥2x+y−4.

x2+y2=20⇔x+y2−20=2xy≥4x+y−8⇒x+y2−4x+y−12≥0⇔x+y≥6.

Vậy minx+y=6⇔x=2⇒y=4y=2⇒x=4.