Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng 60^o và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO⊥ABCD⇒SO⊥AB.

Ta có: S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

AB⊂SAB; CD⊂SCD; AB//CD.

Suy ra hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng △ đi qua S, song song với AB và CD.

Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AB và CD => HK đi qua O và HK⊥AB.

Ta có: SO⊥ABHK⊥AB⇒AB⊥SHK⇒Δ⊥SHK (Do Δ//AB).

⇒SAB ; SCD^=SH ; SK^=60°⇒SH⊥SK⇒Tam giác SHK là tam giác đều.

Kẻ KP vuông góc SH tại P.

Do CD//AB⊂SAB⇒CD//SAB nên dCD;AB=dCD;SAB=dK;SAB=a

Khi đó ta có: KP⊥SHKP⊥AB⇒KP⊥SAB⇒dK;SAB=KP=a⇒SO=a và HK=2a3(Do tam giác SHK là tam giác đều)

Suy ra SABCD=HK2=4a23.

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: VS.ABCD=13SO.SABCD=13a.4a23=49a3