Cho hàm số fx=sinx,khi   cosx≥01+cosx,khi   cosx<0 Hàm số f có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 0;  2019 ?

Xét hàm số f(x)  trên đoạn 0;  2π, khi đó fx=sinx,khi   x∈0;  π2∪3π2;  2π1+cosx,khi   x∈π2;  3π2

Ta có limx→0+fx=0=f0;  limx→2π−fx=0=f2π

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng 0;  π2;  π2;  3π2 và 3π2;  2π

Ta xét tại x=π2

limx→π2+fx=limx→π2+1+cosx=1;  limx→π2−fx=limx→π2−sinx=1;  fπ2=1

Như vậy limx→π2−fx=limx→π2+f(x=fπ2 nên hàm số f(x)  liên tục tại điểm x=π2

Ta xét tại x=3π2

limx→3π2−fx=limx→3π2+sinx=−1;  limx→3π2−fx=limx→3π2−1+cosx=1

Vì limx→3π2−fx≠limx→3π2+fx nên hàm số f(x)  gián đoạn tại điểm x=3π2

Do đó, trên đoạn 0;  2π hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x=3π2.

Do tính chất tuần hoàn của hàm số y=cosx và y=sinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm x=3π2+k2π,  k∈ℤ

Ta có x∈0;  2018⇔0<3π2+k2π<2018⇔−34

Vì k∈ℤ  nên k∈0,  1,  2,  ...,  320. Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng 0;  2018