Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn ∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=e2−14 và f(1)=0 . Tính ∫01fxdx

Chọn C

- Tính : I=∫01x+1exfxdx=∫01xexfxdx+∫01exfxdx=J+K

Tính K=∫01exfxdx

Đặt u=exfxdv=dx⇒du=exfx+exf'xdxv=x ⇒K=xexfx01−∫01xexfx+xexf'xdx =−∫01xexfxdx−∫01xexf'xdxdo f1=0 ⇒K=−J−∫01xexf'xdx⇒I=J+K=−∫01xexf'xdx

- Kết hợp giả thiết ta được :

∫01f'x2dx=e2−14−∫01xexf'xdx=e2−14⇒∫01f'x2dx=e2−14      (1)2∫01xexf'xdx=−e2−12 (2)

- Mặt khác, ta tính được : ∫01x2e2xdx=e2−14  (3)

- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ∫01f'x2+2xexf'x+x2e2xdx=0 ⇔∫o1f'x+xex2dx=0⇔π∫o1f'x+xex2dx=0 hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f'x+xex , trục Ox, các đường thẳng x=0 , x=1 khi quay quanh trục Ox bằng 0 ⇒f'x+xex=0⇔f'x=−xex⇒fx=−∫xexdx=1−xex+C - Lại do f1=0⇒C=0⇒fx=1−xex ⇒∫01fxdx=∫011−xexdx=1−xex01+∫01exdx=−1+ex01=e−2 Vậy∫01fxdx=e−2