Đặt \[I = \int\limits_{3\sqrt 2 }^6 {\frac{{x\sqrt {{x^2} - 9} }}} \] và \[x = \frac{3}{{\cos t}}.\] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến và chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết:

Ta có: \[I = \int\limits_{3\sqrt 2 }^6 {\frac{{x\sqrt {{x^2} - 9} }}} \] và \[x = \frac{3}{{\cos t}}\]

\[ \Rightarrow dx = \frac{{ - 3{{\left( {\cos t} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}t}}dt = \frac{{3\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt\] ⇒ Đáp án A đúng.

Đổi cận: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3\sqrt 2 \Rightarrow \cos t = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}}\\{x = 6 \Rightarrow \cos t = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \frac{{x\sqrt {{x^2} - 9} }} = \frac{1}{{\frac{3}{{\cos t}}.\sqrt {\frac{9}{{{{\cos }^2}t}} - 9} }}.\frac{{3\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt\] \[ = \frac{{\sin tdt}}{{\cos t.\sqrt {\frac{{9\left( {1 - {{\cos }^2}t} \right)}}{{{{\cos }^2}t}}} }}dt = \frac{{\sin tdt}}{{3\cos t\sqrt {\frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}} }}dt\]

\[ = \frac{{\sin tdt}}{{3\cos t.\tan t}}dt.\]

⇒ Đáp án B sai.