Giải phương trình sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 2

Đáp án đúng là: B

Đặt \(t = {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x = \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Vì \({\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1\left] { \Rightarrow t \in } \right[ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Ta có:

\({t^2} = {({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x)^2} = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 2{\rm{sin}}x{\rm{cos}}x \Rightarrow {\rm{sinxco}}x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

\(\frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = - 5\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 1\), ta được:

\({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.} \right.\)

Đáp án cần chọn là: \({\rm{B}}\)