Biết hàm số fx=x3+ax2+bx+c đạt cực trị tại điểm x=1,fx=−3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Phương trình fx=2 có bao nhiêu nghiệm?

Phương pháp giải:

- Hàm số đạt cực trị tại x=x0=>f'x0=0.

- Thay điểm 1;−3;0;2 vào hàm số.

- Giải hệ phương trình tìm a,b,c.

- Giải phương trình fx=2.

Giải chi tiết:

Ta có: f'x=3x2+2ax+b .

Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 1 nên 3+2a+b=0.

f1=−3=>1+a+b+c=−3⇔a+b+c=−4 

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tùng độ bằng 2 nên c=0

Ta có: 3+2a+b=0a+b+c=−4c=0⇔a=1b=−5c=0⇒fx=x3+x2−5x 

fx=2⇔x3+x2−5x=2⇔x−2x2+3x+1=0⇔x=2x=−3+52x=−3−52 

Vậy phương trình fx=2 có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn D.