Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[{6^x} + {4^x} + m{.2^x} = 0\] có nghiệm là:

Phương pháp giải:

- Cô lập m, đưa phương trình đã cho về dạng \[f\left( x \right) = m\]

- Khảo sát, lập BBT và kết luận giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết:

Ta có: \[{6^x} + {4^x} + m{.2^x} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{6^x} + {4^x}}}{{ - {2^x}}} = - {3^x} - {2^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\].

Đặt \[f\left( x \right) = - {3^x} - {2^x}\], khi đó ta có \[m = f\left( x \right)\], số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] và đường thẳng \[y = m\].

Xét hàm số \[f\left( x \right) = - {3^x} - {2^x}\] có TXĐ \[D = \mathbb{R}\]

Ta có \[f'\left( x \right) = - {3^x}\ln 3 - {2^x}\ln 2 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\], do đó hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \].

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy để phương trình (*) có nghiệm thì \[m < 0\].

Vậy \[m \in \left( { - \infty ;0} \right)\].