Có bao nhiêu cặp số nguyên dương m;n sao cho m+n≤10 và ứng với mỗi cặp m;n tồn tại đúng 3 số thực a∈−1;1 thỏa mãn 2am=nlna+a2+1 ?

Chọn D

Ta có 2am=nlna+a2+1⇔2amn=lna+a2+1 .

Xét hai hàm số fx=lnx+x2+1  và gx=2nxm  trên −1;1 .

Ta có f'x=1x2+1>0  nên fx  luôn đồng biến và  

f−x=ln−x+x2+1=ln1x+x2+1=−lnx+x2+1=−fxnên fx  là hàm số lẻ.

+ Nếu m chẵn thì gx  là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số gx  là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

Ta thấy phương trình luôn có nghiệm x=0 . Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên −1;1  khi có 1 nghiệm trên (0,1), hay f1>g1⇔ln1+2<2n⇔n<2ln1+2≈2,26⇒n∈1;2 .

Đối chiếu điều kiện, với n=1  suy ra , có m∈1;3;5;7;9  cặp số thỏa mãn

Với  n=2 thì m∈1;3;5;7  có 4   cặp số thỏa mãn.

Vậy có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.