∫x3+x+1+1x2+1+32 dx có dạng a4x4−1x+1+32x+b3x+13+C, trong đó a,  b là hai số hữu tỉ. Giá trị b,a lần lượt bằng:

Phân tích:

Theo đề, ta cần tìm ∫x3+x+1+1x2+1+32 dx. Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

∫x3+x+1+1x2+1+32 dx=∫x3+1x2+1+32 dx+∫x+1 dx.

Để tìm ∫2xx2+1+xlnx dx ta đặt I1=∫x3+1x2+1+32 dx và I2=∫x+1 dx và tìm I1, I2.

*Tìm I1=∫x3+1x2+1+32 dx.

I1=∫x3+1x2+1+32 dx=14x4−1x+1+32x+C1, trong đó C1 là 1 hằng số.

*Tìm I2=∫x+1 dx.

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt  t=x+1, t≥0  ta được  t2=x+1,  2tdt=dx.

Suy ra I2=∫x+1 dx=∫2t2dt=23t3+C2=23x+13+C2.

∫x3+x+1+1x2+1+32 dx=I1+I2=14x4−1x+1+32x+C1+23x+13+C2=14x4−1x+1+32x+23x+13+C.

Suy ra để  ∫x3+x+1+1x2+1+32 dx có dạng a4x4−1x+1+32x+b3x+13+C thì  a=1∈ℚ,  b=2∈ℚ.

Vậy đáp án chính xác là đáp án D.