Cho hàm số \[f\left( x \right)\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \[f\left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} } \right) = f\left( {{m^2} + 2m + 2} \right)\] có nghiệm?

Đáp án B

Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Mà \(\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} > 0\) và \({m^2} + 2m + 2 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 > 0.\)

Nên \(f\left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} } \right) = f\left( {{m^2} + 2m + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} = {m^2} + 2m + 2.\)

Ta có

\({\left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} } \right)^2} = 18 + 2\sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {12 - x} \right)} \ge 18 \Rightarrow \sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} \ge 3\sqrt 2 .\)

Lại có \(\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} \le \sqrt {2\left( {x + 6 + 12 - x} \right)} = 6 \Rightarrow 3\sqrt 2 \le {m^2} + 2m + 2 \le 6\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + 2m + 2 = 5}\\{{m^2} + 2m + 2 = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1}\\{m = 3}\end{array}} \right.\) thỏa mãn.