Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = {2^{f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right)}}\].

Đáp án D

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right)}}\), với \(x \in \mathbb{R}\) ta có

\(g'\left( x \right) = f'\left( {x.} \right)\left[ {{2^{f\left( x \right)}}.\ln 2 - {3^{f\left( x \right)}}.\ln 3} \right]\)

\[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\{2^{f\left( x \right)}}.\ln 2 - {3^{f\left( x \right)}}.\ln 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} = \frac{{\ln 2}}{{\ln 3}} = {\log _3}2\end{array} \right.\]

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy \(f\left( x \right) \ge - 1,\forall x \in \mathbb{R}.\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} \ge {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 1}} = \frac{2}{3} > {\log _3}2\) nên \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0.\)

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right).\)

Vậy hàm số \(y = {2^{f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right)}}\) có đúng 3 điểm cực trị.