Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên. Biết các miền A, B, \(x = 2\) có diện tích lần lượt là 32; 2; 3. Tích phân \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} \) bằng

Ta có \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( {2x + 2} \right)dx} + 4\)

Xét \({I_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( {2x + 2} \right)dx} \).

Đặt \(t = 2x + 2 \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{2}\)

Đổi cận: \(x = - 2 \Rightarrow t = - 2\); \(x = 2 \Rightarrow t = 6\).

Suy ra \({I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^6 {f\left( t \right)dt} \).

Gọi \({x_1}\); \({x_2}\) là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trực hoành \[\left( { - 2 < {x_1} < {x_2} < 6} \right)\] . Ta có

\[\begin{array}{l}{I_1} = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 2}^ {f\left( t \right)df} + \int\limits_^ {f\left( t \right)df} + \int\limits_^6 {f\left( t \right)df} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{S_A} - {S_B} + {S_C}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {32 - 2 + 3} \right) = \frac{2}\end{array}\]

Vậy \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} = {I_1} + 4 = \frac{2} + 4 = \frac{2}\)

Chọn D.