Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−1=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=z+i+z−2−i

Chọn B

Đặt z=x+yi x,y∈ℝ ta có

z−1=2⇔x−1+yi=2⇔x−12+y2=2

⇔x−12+y2=2⇔x2+y2=2x+1 (*).

Lại có

T=z+i+z−2−i=x+y+1i+x−2+y−1i=x2+y2+2y+1+x2+y2−4x−2y+5

Kết hợp với (*) ta được

T=2x+2y+2+6−2x−2y=2x+y+2+6−2x+y

Đặt T = x + y, khi đó T=ft=2t+2+6−2t với t∈−1;3

Cách 1:  Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có f't=12t+2−16−2t; f't=0⇔t=1

Mà f1=4,f−1=22,f3=22. Vậy maxft=f1=4

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

T=2t+2+6−2t≤1+1.8=4

Đẳng thức xảy ra khi t = 1