Cho dãy \[\left( \right)\] với \[{u_n} = \frac\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Đáp án B

Phương pháp:

Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm bằng cách chứng minh hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n} < 0.\] Từ đó chọn kết luận đúng.

Cách giải:

Ta có

\[{u_n} = \frac = \frac + 2018 - \frac{1}}}\]

\[ = \frac{1} + \frac}} = \frac{1} + \frac{{{{2018}^2} - 1}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}} = \frac{1} + \frac{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\]

\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1} + \frac{{2018\left( {2018\left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{1} + \frac{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}}\]

\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\]

\[ = \frac{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}} - \frac{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\]

\[ = \frac\left( {\frac{1} - \frac{1}} \right)\]

Do \[2018n + 2019 > 2018n + 1 \Rightarrow \frac{1} < \frac{1}\]

\[ \Rightarrow \frac{1} - \frac{1} < 0\] hay \[{u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}.\]

Suy ra dãy số đó cho là dãy số giảm.

Lại có \[{u_1} = \frac = 1.\] Vậy dãy số \[\left( \right)\] giảm và bị chặn dưới bởi 1.