Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60° , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC^=60°. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm củaΔABC . Thể tích của khối tứ diện theo A'.ABC bằng a

Lời giải

Chọn D

Gọi G  là trọng tâm ΔABC  .

 ⇒B'G⊥ABC.

là hình chiếu của BB'  lên ABC .

⇒BB',ABC^=BB',BG^=B'GB^=60° (vì ΔBB'G  vuông tại G  nên B'GB^  nhọn).

⇒B'G=BB'.sin60°=a32 ; BG=BB'.cos60°=a2 .

Gọi ΔABC  là trung điểm AC .

Lại có : ΔABC  vuông tại C  và góc BAC^=60°⇒BC=AC.tan60°=AC.3 .

ΔBCM vuông tại C⇒BC2+MC2=BM2⇔3AC2+AC24=9a216⇔AC=3a1326  .

 ⇒BC=3a3926⇒SΔABC=12BC.AC=9a23104   .

ABC//A'B'C'⇒dA',ABC=dB',ABC=B'G=a32.

Thể tích của khối tứ diện A'.ABC  : VA'.ABC=13.B'G.SΔABC=13.a32.9a23104=9a3208 .