Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = 3a,\,\,BC = 4a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng

Đáp án A

Phương pháp:

Qua M dựng đường thẳng MN song song với AB, khi đó

\(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\)

Cách giải:

Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc giữa SC và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(SCA = {60^0}\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại B nên \(MN//AB \Rightarrow AB//\left( {SMN} \right)\)

\(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\)

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN tại D.

Do \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot MN \Rightarrow AD \bot MN\). Từ A kẻ AH vuông góc với SD.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MD \bot AD\\MD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow MD \bot AH\)

Mà \(AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left( {SMD} \right)\) hay \(AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\)

Do \(AD = BN = \frac{1}{2}BC = 2a\)

Xét \(\Delta SAD\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{75{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{300{a^2}}}\)

\( \Rightarrow d\left( {AB;SM} \right) = AH = \frac{{10\sqrt {237} a}} = \frac{{10\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}\)