Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(M\left( { - 1;1;3} \right)\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm \(K\left( {0;0;2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án B

Phương pháp:

+) Gọi H là chân đường vuông góc của K trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}KH \le KM\\KH \le KN\end{array} \right.\)

+) Tính độ dài KM, KN.

+) \(K{H_{max}} = max\left\{ {KM;KN} \right\}\)

Cách giải:

Gọi H là chân đường vuông góc của K trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}KH \le KM\\KH \le KN\end{array} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {KM} = \left( {0; - 1;0} \right) \Rightarrow KM = 1\)

            \(\overrightarrow {KN} = \left( { - 1;1;1} \right) \Rightarrow KN = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow K{H_{max}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow H \equiv N\), khi đó \(KN \bot \left( P \right)\)

Vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(KN = \left( { - 1;1;1} \right)\) là 1 VTPT \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của \(\left( P \right)\)